Номер 10, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3)

$y=||x|-2|-3|.$

Для построения графика функции $y = |||x| - 2| - 3|$ будем использовать метод последовательных преобразований, начиная с базового графика $y = |x|$.

Шаг 1: Построим график функции $y_1 = |x|$. Это стандартный V-образный график ("галочка") с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$.

Шаг 2: Построим график функции $y_2 = y_1 - 2 = |x| - 2$. Этот график получается путем сдвига графика $y_1$ на 2 единицы вниз по оси ординат (Oy). Вершина графика перемещается в точку $(0, -2)$. Нули функции находятся из уравнения $|x| - 2 = 0$, то есть при $x = -2$ и $x = 2$.

Шаг 3: Построим график функции $y_3 = |y_2| = ||x| - 2||$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), то есть на интервале $(-2, 2)$, симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика, которая была выше или на оси Ox, остается без изменений. Получается W-образный график с вершинами (точками излома) в точках $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Шаг 4: Построим график функции $y_4 = y_3 - 3 = ||x| - 2| - 3$. Этот график получается сдвигом графика $y_3$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Ключевые точки смещаются: $(0, 2)$ переходит в $(0, -1)$; точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ переходят в $(-2, -3)$ и $(2, -3)$. Найдем новые нули функции из уравнения $||x| - 2| - 3 = 0$, откуда $||x| - 2| = 3$. Это уравнение эквивалентно двум: $|x| - 2 = 3$ (что дает $|x| = 5$, т.е. $x = \pm 5$) и $|x| - 2 = -3$ (что дает $|x| = -1$, решений нет). Итак, нули функции находятся в точках $x = -5$ и $x = 5$.

Шаг 5: Построим итоговый график $y = |y_4| = |||x| - 2| - 3||$. Для этого часть графика $y_4$, лежащую ниже оси Ox (на интервале $(-5, 5)$), симметрично отражаем относительно этой оси. Части графика, которые были выше или на оси Ox (при $x \le -5$ и $x \ge 5$), оставляем без изменений.
При этом преобразовании ключевые точки изменяются следующим образом:
- Точки $(-5, 0)$ и $(5, 0)$ остаются на месте и являются точками локального минимума.
- Точка $(0, -1)$ отражается в точку $(0, 1)$, которая также является точкой локального минимума.
- Точки $(-2, -3)$ и $(2, -3)$ отражаются в точки $(-2, 3)$ и $(2, 3)$, которые становятся точками локального максимума.

Итоговый график представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси Oy, с точками излома в $(-5, 0), (-2, 3), (0, 1), (2, 3), (5, 0)$.

Ответ: График функции $y = |||x| - 2| - 3||$ представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси ординат. Его можно получить последовательными преобразованиями: сдвиг, отражение, сдвиг, отражение. Ключевые точки графика (точки излома): локальные минимумы в $(-5, 0)$, $(0, 1)$, $(5, 0)$ и локальные максимумы в $(-2, 3)$, $(2, 3)$.