Номер 6, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y = f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$, $D(f)=[-4;2]$.

а) $y = \frac{1}{3}f(x)$;

б) $y = f(2x)$;

в) $y = -f(x)$;

г) $y = f(-x)$;

д) $y = f(|x|)$;

е) $y = |f(x)|$;

ж) $y = f(x)-3$;

з) (2) $y = f(2x-4)$;

и) (3) $y = \left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;

к) (3) $y = |f(|x|)|$.

Для решения задачи сначала проанализируем исходную функцию $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на области определения $D(f)=[-4; 2]$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Для удобства построения графиков найдем ее ключевые точки.
1. Вершина параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $f(x) = 0 \implies x^2+2x-3=0$.По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
3. Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
4. Значения на концах области определения:$f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.$f(2) = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
Таким образом, исходный график — это часть параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. Область значений функции $E(f) = [-4; 5]$.

Теперь составим план и опишем построение для каждой из заданных функций.

а) $y=\frac{1}{3}f(x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем вертикального сжатия к оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (координата y) точки исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сжимается в 3 раза: $E(y) = [-\frac{4}{3}; \frac{5}{3}]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, \frac{5}{3})$ и $(2, \frac{5}{3})$, вершина $(-1, -\frac{4}{3})$. Нули функции остаются прежними: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

б) $y=f(2x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем горизонтального сжатия к оси Oy в 2 раза. Каждая абсцисса (координата x) точки исходного графика делится на 2.

Ответ:Область определения сжимается в 2 раза. Так как $-4 \le 2x \le 2$, то $-2 \le x \le 1$. $D(y) = [-2; 1]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(1, 5)$, вершина $(-\frac{1}{2}, -4)$, нули $(-\frac{3}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

в) $y=-f(x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений отражается: $E(y) = [-5; 4]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, -5)$ и $(2, -5)$, вершина $(-1, 4)$. Нули функции остаются прежними.

г) $y=f(-x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.

Ответ:Область определения отражается. Так как $-4 \le -x \le 2$, то $-2 \le x \le 4$. $D(y) = [-2; 4]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(4, 5)$, вершина $(1, -4)$, нули $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

д) $y=f(|x|)$

План построения:1. Сохраняем часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$.2. Удаляем часть графика, где $x < 0$.3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

Ответ:Область определения становится симметричной. Так как $|x|$ должно принадлежать исходному отрезку $[-4, 2]$, а $|x| \ge 0$, то $0 \le |x| \le 2$, откуда $-2 \le x \le 2$. $D(y) = [-2; 2]$. График симметричен относительно оси Oy. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, локальные минимумы в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$, точка пересечения с осью Oy $(0,-3)$. Область значений $E(y) = [-3; 5]$.

е) $y=|f(x)|$

План построения:1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Все отрицательные значения функции становятся положительными, поэтому область значений $E(y) = [0; 5]$. Часть параболы между корнями $x=-3$ и $x=1$ (включая вершину) отражается вверх. Новые ключевые точки: концы $(-4, 5)$ и $(2, 5)$ остаются, бывшая вершина $(-1, -4)$ переходит в точку локального максимума $(-1, 4)$.

ж) $y=f(x)-3$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сдвигается на 3 вниз: $E(y) = [-7; 2]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, 2)$ и $(2, 2)$, вершина $(-1, -7)$.

з)(2) $y=f(2x-4)$

План построения:Преобразуем выражение: $y=f(2(x-2))$. График строится из графика $y=f(x)$ в два этапа:1. Горизонтальное сжатие к оси Oy в 2 раза (получаем график $y=f(2x)$).2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ:Найдем новую область определения: $-4 \le 2x-4 \le 2 \implies 0 \le 2x \le 6 \implies 0 \le x \le 3$. $D(y) = [0; 3]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(0,5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(1.5, -4)$; точка $(2,5)$ переходит в $(3,5)$.

и)(3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$

План построения:График строится последовательным применением четырех преобразований к графику $y=f(x)$:1. Отражение относительно оси Oy ($y=f(-x)$).2. Вертикальное сжатие к оси Ox в 2 раза ($y=\frac{1}{2}f(-x)$).3. Сдвиг на 3 единицы вниз вдоль оси Oy ($y=\frac{1}{2}f(-x)-3$).4. Отражение частей графика, лежащих ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

Ответ:После шагов 1-3 промежуточная функция $g(x)=\frac{1}{2}f(-x)-3$ будет определена на отрезке $D(g) = [-2; 4]$ и иметь область значений $E(g) = [-5; -0.5]$. Так как вся эта область лежит ниже оси Ox, шаг 4 означает отражение всего графика $g(x)$ относительно оси Ox. Итоговая область определения $D(y) = [-2; 4]$. Область значений $E(y) = [0.5; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(-(-4), |0.5 \cdot 5 - 3|) = (4, |-0.5|) = (4, 0.5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(-(-1), |0.5 \cdot (-4) - 3|) = (1, |-5|) = (1, 5)$; точка $(2,5)$ переходит в $(-2, |0.5 \cdot 5 - 3|) = (-2, 0.5)$.

к)(3) $y=|f(|x|)|$

План построения:Это комбинация двух преобразований, рассмотренных ранее (д и е):1. Строим график $y=f(|x|)$ (см. пункт д).2. Для полученного графика применяем преобразование модуля: части графика ниже оси Ox отражаем симметрично относительно этой оси (см. пункт е).

Ответ:На первом шаге получаем график $y=f(|x|)$ на области определения $D=[-2; 2]$ с областью значений $E=[-3; 5]$. Часть этого графика от $x=-1$ до $x=1$ лежит ниже оси Ox (с минимумом в $(0, -3)$). На втором шаге эта часть отражается вверх. Итоговый график определен на $D(y) = [-2; 2]$, его область значений $E(y)=[0; 5]$. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, нули в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, а бывший минимум $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$.