Номер 5, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (2)Постройте по алгоритму график $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на множестве $x \in [-4;2]$.

Для построения графика функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 2x - 8$ на множестве $x \in [-4; 2]$, выполним следующие шаги:

1. Определение основных характеристик функции

Заданная функция $y = x^2 + 2x - 8$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины $(x_0; y_0)$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = f(x_0)$

В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$. Абсцисса вершины $x_0 = -1$ принадлежит заданному отрезку $x \in [-4; 2]$.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат

Пересечение с осью OY:

Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$

Точка пересечения с осью OY: $(0; -8)$.

Пересечение с осью OX:

Для этого нужно решить уравнение $y(x) = 0$:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. $\sqrt{D}=6$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Точки пересечения с осью OX: $(-4; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Вычисление значений функции на концах заданного отрезка

Заданный отрезок $x \in [-4; 2]$. Найдем значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$.

При $x=-4$: $y(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$. Точка $(-4; 0)$.

При $x=2$: $y(2) = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Как мы видим, концы заданного отрезка являются корнями функции.

5. Составление таблицы значений и построение графика

Для построения графика используем найденные ключевые точки и несколько дополнительных. Составим таблицу значений на отрезке $[-4; 2]$ с шагом 1.

• $x = -4, y = 0$
• $x = -3, y = (-3)^2 + 2(-3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$
• $x = -2, y = (-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$
• $x = -1, y = -9$ (вершина)
• $x = 0, y = -8$
• $x = 1, y = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$
• $x = 2, y = 0$

На координатной плоскости отмечаем эти точки: $(-4; 0), (-3; -5), (-2; -8), (-1; -9), (0; -8), (1; -5), (2; 0)$. Соединяем их плавной кривой, получая часть параболы на заданном множестве.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ на множестве $x \in [-4; 2]$ является дуга параболы с ветвями, направленными вверх. Эта дуга ограничена точками $(-4; 0)$ и $(2; 0)$. Вершина параболы находится в точке $(-1; -9)$. График проходит через точку пересечения с осью OY $(0; -8)$. Для построения необходимо отметить на координатной плоскости точки $(-4; 0)$, $(-3; -5)$, $(-2; -8)$, $(-1; -9)$, $(0; -8)$, $(1; -5)$, $(2; 0)$ и соединить их плавной линией.