Номер 4, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (2) Постройте графики функций на одной плоскости:

а) $y=\frac{3}{x}$;

б) $y=\frac{3}{x-2}$;

в) $y=\frac{3}{x-2}+3=\frac{3x-3}{x-2}$;

г) $y=\frac{|x|-3}{|x|-2}$;

д) $y=\left|\frac{3x-3}{x-2}\right|$.

а) $y=\frac{3}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Она получается из графика базовой функции $y=\frac{1}{x}$ растяжением в 3 раза вдоль оси ординат (оси OY).

1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).

3. Построение: Так как коэффициент 3 положителен, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат. Для построения найдем несколько точек:

- если $x=1$, то $y=3$;

- если $x=3$, то $y=1$;

- если $x=-1$, то $y=-3$;

- если $x=-3$, то $y=-1$.

Соединяем точки плавными линиями, приближающимися к осям координат.

Ответ: Графиком является гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях и проходят через точки $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

б) $y=\frac{3}{x-2}$

Этот график можно получить из графика функции $y=\frac{3}{x}$ (пункт а) с помощью параллельного переноса.

1. Преобразование: Замена $x$ на $x-2$ означает сдвиг графика на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси OX).

2. Асимптоты: Вертикальная асимптота смещается на 2 единицы вправо и становится $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.

3. Построение: Берем график из пункта (а) и смещаем его целиком на 2 единицы вправо. Центр симметрии гиперболы перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(2,0)$. Ключевые точки смещаются соответственно:

- $(1, 3) \rightarrow (1+2, 3) = (3, 3)$;

- $(3, 1) \rightarrow (3+2, 1) = (5, 1)$;

- $(-1, -3) \rightarrow (-1+2, -3) = (1, -3)$;

- $(-3, -1) \rightarrow (-3+2, -1) = (-1, -1)$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота — $x=2$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

в) $y=\frac{3}{x-2}+3=\frac{3x-3}{x-2}$

Этот график можно получить из графика функции $y=\frac{3}{x-2}$ (пункт б) с помощью параллельного переноса. Удобнее использовать вид $y=\frac{3}{x-2}+3$.

1. Преобразование: Прибавление 3 к функции означает сдвиг графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси OY).

2. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=2$ не изменяется. Горизонтальная асимптота смещается на 3 единицы вверх и становится $y=3$.

3. Построение: Берем график из пункта (б) и смещаем его целиком на 3 единицы вверх. Центр симметрии гиперболы перемещается из точки $(2,0)$ в точку $(2,3)$.

- Точки пересечения с осями:

- С осью OY ($x=0$): $y = \frac{3(0)-3}{0-2} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Точка $(0, 1.5)$.

- С осью OX ($y=0$): $0 = \frac{3x-3}{x-2} \Rightarrow 3x-3=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. График пересекает ось OX в точке $(1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 1.5)$.

г) $y=\frac{3|x|-3}{|x|-2}$

График этой функции строится на основе графика функции $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}$ из пункта (в). Данная функция имеет вид $y=f(|x|)$.

1. Правило построения графика $y=f(|x|)$: для построения нужно взять ту часть графика $y=f(x)$, которая находится правее оси OY (где $x \ge 0$), и отразить её симметрично относительно оси OY.

2. Построение:

- Рассматриваем график $y=\frac{3x-3}{x-2}$ из пункта (в) при $x \ge 0$. Эта часть графика имеет вертикальную асимптоту $x=2$, пересекает ось OY в точке $(0, 1.5)$ и ось OX в точке $(1, 0)$.

- Оставляем эту часть графика без изменений.

- Отражаем эту часть симметрично относительно оси OY. В результате:

- Появится вторая вертикальная асимптота $x=-2$ (отражение асимптоты $x=2$).

- Горизонтальная асимптота $y=3$ останется прежней, так как она симметрична относительно оси OY.

- Точка пересечения с осью OX $(1, 0)$ отразится в точку $(-1, 0)$.

- Точка на оси OY $(0, 1.5)$ является общей для обеих частей.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=2$ и $x=-2$, и одну горизонтальную асимптоту $y=3$. График пересекает ось OX в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$ и ось OY в точке $(0,1.5)$.

д) $y=|\frac{3x-3}{x-2}|$

График этой функции строится на основе графика функции $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}$ из пункта (в). Данная функция имеет вид $y=|f(x)|$.

1. Правило построения графика $y=|f(x)|$: для построения нужно ту часть графика $y=f(x)$, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$), отразить симметрично относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.

2. Построение:

- Анализируем знак функции $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}$. Она равна нулю при $x=1$ и не определена при $x=2$. Методом интервалов находим, что $f(x) < 0$ при $x \in (1, 2)$.

- Части графика из пункта (в), где $x \in (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$, находятся выше или на оси OX, поэтому мы их оставляем.

- Часть графика, где $x \in (1, 2)$, находится ниже оси OX. Эту ветвь, уходящую на $-\infty$ при приближении к $x=2$ слева, мы отражаем симметрично относительно оси OX. Отраженная часть будет начинаться в точке $(1,0)$ и уходить на $+\infty$ при приближении к $x=2$ слева.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=2$ и горизонтальная асимптота $y=3$ сохраняются.

Ответ: График функции расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. График касается оси OX в точке $(1, 0)$. Часть графика функции $y=\frac{3x-3}{x-2}$ на интервале $(1, 2)$ отражена относительно оси OX.