Номер 3, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (2) На одной координатной плоскости постройте график функций $f(x)=||x-2|-1|$ и $g(x)=\frac{1}{2}x$. Используя построенные графики,

а) решите уравнение $f(x)=g(x)$;

б) решите неравенство $f(x) \geq g(x)$;

в) ответьте на вопрос: «Сколько корней имеет уравнение $f(x)=a$ в зависимости от $a$?»

Для построения графика функции $f(x) = ||x-2|-1|$ выполним последовательные преобразования:

1. Строим график функции $y_1 = x-2$ – это прямая линия.

2. Строим график $y_2 = |x-2|$. Это график, полученный из $y_1$ путем отражения части прямой, лежащей ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Получаем "галочку" с вершиной в точке $(2, 0)$.

3. Строим график $y_3 = |x-2|-1$. Этот график получается сдвигом графика $y_2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вершина "галочки" перемещается в точку $(2, -1)$, а нули функции находятся в точках $x=1$ и $x=3$.

4. Строим итоговый график $f(x) = ||x-2|-1|$. Этот график получается из $y_3$ путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox (на интервале $(1, 3)$), симметрично относительно оси Ox. В результате получаем W-образный график с "вершинами" в точках $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(3, 0)$.

График функции $g(x) = \frac{1}{2}x$ – это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, 1)$.

Построим оба графика в одной системе координат.

a) решите уравнение $f(x)=g(x)$

Корни уравнения $f(x)=g(x)$ – это абсциссы точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Из графика видно, что таких точек три. Одна из них очевидна: $(2, 1)$, следовательно, $x=2$ является корнем.

Для нахождения остальных корней решим уравнение аналитически, раскрыв модули в функции $f(x)$ на разных участках:

$f(x) = \begin{cases} 1-x, & \text{если } x \le 1 \\ x-1, & \text{если } 1 < x < 2 \\ 3-x, & \text{если } 2 \le x < 3 \\ x-3, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$

Приравняем $g(x)=\frac{1}{2}x$ к каждому из выражений для $f(x)$ на соответствующем промежутке:

1. На промежутке $x \le 1$: $1-x = \frac{1}{2}x \Rightarrow 1 = \frac{3}{2}x \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Корень $x=\frac{2}{3}$ принадлежит промежутку $x \le 1$.

2. На промежутке $1 < x < 2$: $x-1 = \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \Rightarrow x=2$. Этот корень не входит в интервал $(1, 2)$.

3. На промежутке $2 \le x < 3$: $3-x = \frac{1}{2}x \Rightarrow 3 = \frac{3}{2}x \Rightarrow x=2$. Этот корень мы уже нашли, он принадлежит промежутку $[2, 3)$.

4. На промежутке $x \ge 3$: $x-3 = \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x=6$. Корень $x=6$ принадлежит промежутку $x \ge 3$.

Таким образом, графики пересекаются в трех точках с абсциссами $x=\frac{2}{3}$, $x=2$ и $x=6$.

Ответ: $x \in \{\frac{2}{3}, 2, 6\}$.

б) решите неравенство $f(x) \geq g(x)$

Решение неравенства $f(x) \ge g(x)$ – это множество всех значений $x$, при которых график функции $y=f(x)$ расположен на или выше графика функции $y=g(x)$.

Используя найденные в пункте а) точки пересечения, рассмотрим промежутки, на которые они разбивают числовую ось:

1. При $x \le \frac{2}{3}$, график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$. В точке $x=\frac{2}{3}$ графики пересекаются. Значит, промежуток $(-\infty, \frac{2}{3}]$ является решением.

2. При $\frac{2}{3} < x < 2$, график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$.

3. В точке $x=2$ графики пересекаются, т.е. $f(2)=g(2)$, значит, $x=2$ входит в решение.

4. При $2 < x < 6$, график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$.

5. При $x \ge 6$, график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$. В точке $x=6$ графики пересекаются. Значит, промежуток $[6, \infty)$ является решением.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup \{2\} \cup [6, \infty)$.

в) ответьте на вопрос: «Сколько корней имеет уравнение $f(x)=a$ в зависимости от $a$?»

Количество корней уравнения $f(x)=a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$. Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения параметра $a$.

Из построенного графика $y=f(x)$ видно, что:

- Минимальное значение функции равно 0, которое достигается в точках $x=1$ и $x=3$.

- Локальный максимум равен 1 и достигается в точке $x=2$.

Рассмотрим различные случаи для $a$:

- Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже оси Ox и не имеет общих точек с графиком $f(x)$, так как $f(x) \ge 0$. Уравнение не имеет корней.

- Если $a = 0$, прямая $y=a$ совпадает с осью Ox и касается графика в двух точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Уравнение имеет два корня.

- Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает график $f(x)$ в четырех точках. Уравнение имеет четыре корня.

- Если $a = 1$, прямая $y=a$ проходит через локальный максимум $(2, 1)$ и пересекает две другие ветви графика. Уравнение имеет три корня ($x=0, x=2, x=4$).

- Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает "крайние" ветви графика в двух точках. Уравнение имеет два корня.

Ответ:
- при $a < 0$ – нет корней;
- при $a = 0$ – 2 корня;
- при $0 < a < 1$ – 4 корня;
- при $a = 1$ – 3 корня;
- при $a > 1$ – 2 корня.