Номер 8, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (1) a)

$y = x^2 - |x| - 6;$

б)

$y = |x^2 - x - 6|;$

а)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - |x| - 6$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 - |x| - 6$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - |-x| - 6 = x^2 - |x| - 6 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
В связи с этим, можно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить полный график.
Шаг 1: Построение для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - x - 6$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки:
Вершина параболы: абсцисса вершины $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Так как $x_v = 0.5 \ge 0$, вершина находится в рассматриваемой области. Ордината вершины $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$. Координаты вершины: $(0.5, -6.25)$.
Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x_1 = 3$. Точка пересечения: $(3, 0)$.
Таким образом, для $x \ge 0$ мы имеем часть параболы с вершиной в точке $(0.5, -6.25)$, проходящую через точки $(0, -6)$ и $(3, 0)$.
Шаг 2: Построение полного графика.
Отразим построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Ключевые точки для $x < 0$ будут симметричны точкам для $x > 0$: вершина в $(-0.5, -6.25)$ и пересечение с Ox в $(-3, 0)$. Точка $(0, -6)$ на оси симметрии является точкой "излома" графика. Для $x < 0$ график соответствует функции $y = x^2 - (-x) - 6 = x^2 + x - 6$.
Итоговый график состоит из двух частей двух разных парабол, симметричных относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = x^2 - |x| - 6$ является объединением двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это график $y = x^2 - x - 6$, а для $x < 0$ это график $y = x^2 + x - 6$. График симметричен относительно оси Oy, имеет две вершины в точках $(0.5, -6.25)$ и $(-0.5, -6.25)$, пересекает ось Oy в точке $(0, -6)$ и ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - x - 6|$.
Построение графика функции вида $y = |f(x)|$ выполняется в два этапа. Сначала строится график функции $f(x)$, а затем та часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $f(x) = x^2 - x - 6$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).
Найдем ее ключевые точки:
Вершина параболы: абсцисса вершины $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Ордината вершины $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Координаты вершины: $(0.5, -6.25)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.
Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.

Шаг 2: Преобразование графика для $y = |x^2 - x - 6|$.
Определим знаки функции $f(x) = x^2 - x - 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями и положительна вне этого интервала.
$f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$. На этих интервалах график $y = |x^2 - x - 6|$ совпадает с графиком $y = x^2 - x - 6$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-2, 3)$. На этом интервале часть параболы, находящуюся ниже оси Ox, нужно отразить вверх. Это означает, что для $x \in (-2, 3)$ график будет соответствовать функции $y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$.
Ключевые точки после отражения:
Вершина $(0.5, -6.25)$ переходит в точку $(0.5, 6.25)$, которая становится локальным максимумом.
Точка пересечения с Oy $(0, -6)$ переходит в точку $(0, 6)$.
Точки пересечения с Ox $(-2, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте и становятся точками "излома" графика.

Ответ: График функции $y = |x^2 - x - 6|$ получается из параболы $y = x^2 - x - 6$. Части параболы на интервалах $(-\infty, -2]$ и $[3, \infty)$ остаются без изменений. Часть параболы на интервале $(-2, 3)$ отражается симметрично относительно оси Ox. В результате получается график, который касается оси Ox в точках $(-2, 0)$ и $(3, 0)$, имеет локальный максимум в точке $(0.5, 6.25)$ и пересекает ось Oy в точке $(0, 6)$.