Номер 13, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) Постройте графики функций:

a) $y = -\frac{2}{x+3}$, $y = -\frac{2}{|x|+3}$;

б) $y = \frac{3-2x}{x-4}$, $y = \left|\frac{3-2x}{x-4}\right|$;

в) $y = \frac{6-2x}{x}$, $y = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$.

а)

1. Построим график функции $y = \frac{2}{x+3}$.

Это график стандартной гиперболы $y = \frac{2}{x}$ (ветви которой расположены в I и III координатных четвертях), сдвинутый на 3 единицы влево вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота графика находится там, где знаменатель обращается в ноль: $x+3=0$, то есть $x=-3$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как при стремлении $x$ к бесконечности значение дроби стремится к нулю.
Для точности построения найдем несколько точек:
Если $x=-1$, то $y = \frac{2}{-1+3} = 1$.
Если $x=-2$, то $y = \frac{2}{-2+3} = 2$.
Если $x=-4$, то $y = \frac{2}{-4+3} = -2$.
Если $x=-5$, то $y = \frac{2}{-5+3} = -1$.

2. Построим график функции $y = \frac{2}{|x|+3}$.

Для построения этого графика можно использовать преобразование $y=f(|x|)$ из графика $y=f(x)$, где $f(x) = \frac{2}{x+3}$. Правило преобразования: часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ сохраняется, а часть графика для $x < 0$ отбрасывается; вместо нее строится изображение сохраненной части, симметричное ей относительно оси Oy.
Рассмотрим функцию: она является четной, так как $y(-x) = \frac{2}{|-x|+3} = \frac{2}{|x|+3} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{2}{x+3}$. Это часть графика первой функции, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
Вертикальных асимптот нет, так как знаменатель $|x|+3$ всегда положителен (так как $|x| \ge 0$, то $|x|+3 \ge 3$).
Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
Максимальное значение функция достигает при $x=0$, $y(0) = \frac{2}{0+3} = \frac{2}{3}$. Это точка "перелома" графика на оси Oy.
Таким образом, мы строим ветвь графика $y = \frac{2}{x+3}$ для $x \ge 0$ и затем симметрично отражаем ее относительно оси Oy.

Ответ: График $y = \frac{2}{x+3}$ — это гипербола с асимптотами $x=-3$ и $y=0$. График $y = \frac{2}{|x|+3}$ — симметричная относительно оси Oy кривая, полученная из части графика $y = \frac{2}{x+3}$ для $x \ge 0$ и ее зеркального отражения. Эта кривая имеет максимум в точке $(0, 2/3)$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

б)

1. Построим график функции $y = \frac{3-2x}{x-4}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для определения ее параметров выделим целую часть:
$y = \frac{-2x+3}{x-4} = \frac{-2(x-4) - 8 + 3}{x-4} = \frac{-2(x-4)}{x-4} - \frac{5}{x-4} = -2 - \frac{5}{x-4}$.
График этой функции получается из графика $y = -\frac{5}{x}$ (гипербола во II и IV четвертях) путем сдвига на 4 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x-4=0 \Rightarrow x=4$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
Найдем точки пересечения с осями:
С осью Ox ($y=0$): $\frac{3-2x}{x-4}=0 \Rightarrow 3-2x=0 \Rightarrow x=1.5$. Точка $(1.5, 0)$.
С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{3-0}{0-4} = -0.75$. Точка $(0, -0.75)$.

2. Построим график функции $y = \left|\frac{3-2x}{x-4}\right|$.

Этот график получается из графика функции $y = \frac{3-2x}{x-4}$ по правилу построения $y=|f(x)|$: часть графика, где $y \ge 0$, остается без изменений, а часть, где $y < 0$, симметрично отражается относительно оси Ox.
Из анализа первой функции знаем, что $y \ge 0$ при $x \in [1.5, 4)$. На этом промежутке график сохраняется.
На промежутках $(-\infty, 1.5)$ и $(4, +\infty)$ значения $y$ отрицательны, поэтому эти части графика отражаются вверх.
Вертикальная асимптота $x=4$ сохраняется.
Горизонтальная асимптота $y=-2$ после отражения становится $y=2$.
Точка $(0, -0.75)$ переходит в точку $(0, 0.75)$. Точка $(1.5, 0)$ остается на месте и становится точкой минимума.

Ответ: График $y = \frac{3-2x}{x-4}$ — это гипербола с асимптотами $x=4$ и $y=-2$. График $y = \left|\frac{3-2x}{x-4}\right|$ получается из первого отражением его отрицательной ($y<0$) части относительно оси Ox. Асимптоты итогового графика: $x=4$ (вертикальная) и $y=2$ (горизонтальная). Область значений $E(y)=[0, +\infty)$.

в)

1. Построим график функции $y = \frac{6-2x}{x}$.

Упростим выражение, разделив почленно: $y = \frac{6}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{6}{x} - 2$.
Это график гиперболы $y = \frac{6}{x}$ (ветви в I и III четвертях), сдвинутый на 2 единицы вниз по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\frac{6}{x}-2=0 \Rightarrow \frac{6}{x}=2 \Rightarrow x=3$. Точка $(3, 0)$.

2. Построим график функции $y = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$.

Построение можно разбить на два этапа преобразований.
Шаг 1: Построим график $y_1 = \frac{6-2|x|}{|x|}$. Это преобразование вида $f(|x|)$ от функции $f(x) = \frac{6-2x}{x}$. Для этого берем часть графика $y = \frac{6-2x}{x}$ при $x>0$ (правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=0, y=-2$, пересекающая ось Ox в точке $(3,0)$) и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получим график, симметричный относительно оси Oy, с двумя ветвями, пересекающими ось Ox в точках $(3,0)$ и $(-3,0)$, и общими асимптотами $x=0$ и $y=-2$.
Шаг 2: Построим итоговый график $y = |y_1| = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$. Это преобразование вида $|f(x)|$. Части графика $y_1$, расположенные под осью Ox, отражаем относительно этой оси.
Отрицательные значения $y_1$ были на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(3, +\infty)$. Эти части графика отражаются вверх.
Горизонтальная асимптота $y=-2$ для $y_1$ отражается и становится горизонтальной асимптотой $y=2$ для итогового графика.
Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ становятся точками минимума графика.

Ответ: График $y = \frac{6-2x}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-2$. График $y = \left|\frac{6-2|x|}{|x|}\right|$ строится в два этапа: сначала симметрия правой части ($x>0$) графика $y=\frac{6}{x}-2$ относительно оси OY, а затем отражение отрицательных частей полученного графика относительно оси OX. Итоговый график симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальную асимптоту $x=0$, горизонтальную асимптоту $y=2$ и касается оси Ox в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.