Номер 14, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14.(2) Постройте графики функции $y=\sqrt{x}$ «по точкам», используя полученный эскиз, составьте план и постройте графики:

а) $y=2\sqrt{x}$, $y=-3\sqrt{x}$, $y=-\sqrt{x}$, $y=\sqrt{-x}$.

б) $y=\sqrt{x-4}$, $y=\sqrt{2x-4}$, $y=\sqrt{-x-4}$, $y=\sqrt{4-x}$.

Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$ по точкам. Область определения этой функции — $x \ge 0$. Составим таблицу значений, выбирая $x$ так, чтобы было удобно извлекать квадратный корень:

x | 0 | 1 | 4 | 9
y | 0 | 1 | 2 | 3

Отметим эти точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Полученный график (эскиз) представляет собой ветвь параболы, симметричную относительно оси Ox параболе $y = x^2$ (для $x \ge 0$).

Используя этот эскиз, построим остальные графики с помощью геометрических преобразований.

а)

$y=2\sqrt{x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Растянуть его от оси Ox (вдоль оси Oy) в 2 раза. Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ нужно умножить на 2.
Например, точки (1, 1), (4, 2) преобразуются в (1, 2), (4, 4).
Ответ: График функции $y=2\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 2 раза.

$y=-3\sqrt{x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Растянуть его от оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза.
3. Отобразить полученный график симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y=-3\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 3 раза с последующим симметричным отражением относительно оси Ox.

$y=-\sqrt{x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y=-\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси Ox.

$y=\sqrt{-x}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Oy.
Область определения функции: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{-x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси Oy.

б)

$y=\sqrt{x-4}$
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Сдвинуть его на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.
Область определения функции: $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{x-4}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ параллельным переносом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

$y=\sqrt{2x-4}$
Преобразуем выражение: $y=\sqrt{2(x-2)}$.
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Сжать его к оси Oy в 2 раза, чтобы получить график $y=\sqrt{2x}$.
3. Сдвинуть полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
Область определения функции: $2x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{2x-4}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сжатием к оси Oy в 2 раза и последующим сдвигом на 2 единицы вправо.

$y=\sqrt{-x-4}$
Преобразуем выражение: $y=\sqrt{-(x+4)}$.
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y=\sqrt{-x}$.
3. Сдвинуть полученный график на 4 единицы влево вдоль оси Ox.
Область определения функции: $-x-4 \ge 0$, то есть $x \le -4$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{-x-4}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно оси Oy и последующим сдвигом на 4 единицы влево.

$y=\sqrt{4-x}$
Преобразуем выражение: $y=\sqrt{-(x-4)}$.
План построения:
1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.
2. Отобразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y=\sqrt{-x}$.
3. Сдвинуть полученный график на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.
Область определения функции: $4-x \ge 0$, то есть $x \le 4$.
Ответ: График функции $y=\sqrt{4-x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно оси Oy и последующим сдвигом на 4 единицы вправо.