Номер 17, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. Постройте по алгоритму график $y=f(x)$, где $f(x)=-x^2+2x+8$ на множестве $x \in [-3;5]$.

Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y=f(x)$.

а) (1) $y=\frac{1}{3}f(x)$;э) (1) $y=f(2x)$;б) (1) $y=-f(x)$;

в) (1) $y=f(-x)$;г) (1) $y=f(|x|)$;ф) (1) $y=|f(x)|$;

е) (1) $y=f(x)-3$;д) (2) $y=f(2x-4)$;ж) (3) $y=\left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;

з) $y=|f(|x|)|$.

Составьте план и постройте графики функций (18–20). Сделайте исследование функции по графику:

Сначала построим по алгоритму график исходной функции $y=f(x)$, где $f(x)=-x^2+2x+8$ на множестве $x \in [-3; 5]$.

1. Тип функции: Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$. $y_0 = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 9)$.

3. Точки пересечения с осями координат: - С осью $Oy$ (при $x=0$): $f(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$. - С осью $Ox$ (при $y=0$): $f(x)=0 \implies -x^2+2x+8=0$. Умножим на -1: $x^2-2x-8=0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1=4$ и $x_2=-2$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Значения функции на концах отрезка $[-3; 5]$: - При $x=-3$: $f(-3) = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$. Точка $(-3, -7)$. - При $x=5$: $f(5) = -(5)^2 + 2(5) + 8 = -25 + 10 + 8 = -7$. Точка $(5, -7)$.

Итоговые ключевые точки для построения графика $y=f(x)$ на отрезке $[-3; 5]$: $(-3, -7)$, $(-2, 0)$, $(0, 8)$, $(1, 9)$ (вершина), $(4, 0)$, $(5, -7)$.

Далее составим план и построим графики следующих функций на основе графика $y=f(x)$.

а) (1) $y=\frac{1}{3}f(x)$

План: Построение графика функции $y=\frac{1}{3}f(x)$ выполняется путем вертикального сжатия графика $y=f(x)$ к оси $Ox$ в 3 раза. Каждая ордината (y-координата) исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$. Область определения функции не изменяется: $x \in [-3; 5]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (-3, -7/3)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (1, 3)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (5, -7/3)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Вершина новой параболы в точке $(1, 3)$.

б) (1) $y=-f(x)$

План: Построение графика функции $y=-f(x)$ выполняется путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси $Ox$. Каждая ордината исходного графика умножается на $-1$. Область определения функции не изменяется: $x \in [-3; 5]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (-3, 7)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (1, -9)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (5, 7)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ отражением относительно оси $Ox$. Новая парабола имеет ветви вверх, вершина в точке $(1, -9)$.

в) (1) $y=f(-x)$

План: Построение графика функции $y=f(-x)$ выполняется путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси $Oy$. Каждая абсцисса (x-координата) исходного графика умножается на $-1$. Область определения изменяется: если $x_{old} \in [-3; 5]$, то $x_{new} = -x_{old} \in [-5; 3]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (3, -7)$; $(-2, 0) \rightarrow (2, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (-1, 9)$; $(4, 0) \rightarrow (-4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (-5, -7)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ отражением относительно оси $Oy$. Новая область определения $D(y) = [-5; 3]$, вершина в точке $(-1, 9)$.

г) (1) $y=f(|x|)$

План: Для построения графика $y=f(|x|)$ необходимо: 1. Сохранить часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$. 2. Удалить часть графика, где $x < 0$. 3. Отразить сохраненную часть симметрично относительно оси $Oy$. Область определения $D(f(|x|))$: так как $|x| \ge 0$ и исходный аргумент должен быть в $[-3; 5]$, то $|x| \in [0; 5]$, что дает новую область определения $x \in [-5; 5]$.

Ключевые точки нового графика (объединение части для $x \ge 0$ и её отражения): Часть для $x \ge 0$: $(0, 8), (1, 9), (4, 0), (5, -7)$. Отраженная часть для $x < 0$: $(-1, 9), (-4, 0), (-5, -7)$.

Ответ: График является четной функцией, симметричен относительно оси $Oy$. Он состоит из части исходного графика на $[0; 5]$ и ее зеркального отражения на $[-5; 0]$.

д) (2) $y=f(2x-4)$

План: Преобразование $y=f(2(x-2))$ выполняется в два этапа: 1. Горизонтальное сжатие графика $y=f(x)$ к оси $Oy$ в 2 раза (получаем $y=f(2x)$). 2. Сдвиг полученного графика вправо на 2 единицы. Область определения изменяется: $ -3 \le 2x-4 \le 5 \implies 1 \le 2x \le 9 \implies 0.5 \le x \le 4.5$.

Для каждой точки $(x_{old}, y_{old})$ нового графика $y_{new}=y_{old}$, а $x_{new} = (x_{old}+4)/2$. Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (0.5, -7)$; $(-2, 0) \rightarrow (1, 0)$; $(1, 9) \rightarrow (2.5, 9)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (4.5, -7)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ сжатием к оси $Oy$ в 2 раза и сдвигом вправо на 2. Новая область определения $D(y) = [0.5; 4.5]$, вершина в точке $(2.5, 9)$.

е) (1) $y=f(x)-3$

План: Построение графика функции $y=f(x)-3$ выполняется путем параллельного переноса (сдвига) графика $y=f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Из каждой ординаты вычитается 3. Область определения не изменяется: $x \in [-3; 5]$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, -7) \rightarrow (-3, -10)$; $(-2, 0) \rightarrow (-2, -3)$; $(1, 9) \rightarrow (1, 6)$; $(4, 0) \rightarrow (4, -3)$; $(5, -7) \rightarrow (5, -10)$.

Ответ: График получается из графика $f(x)$ сдвигом вниз на 3 единицы. Вершина новой параболы в точке $(1, 6)$.

ж) (3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$

План: Это последовательность из четырех преобразований: 1. $y_1=f(-x)$: отражение графика $f(x)$ относительно оси $Oy$. 2. $y_2=\frac{1}{2}f(-x)$: сжатие графика $y_1$ к оси $Ox$ в 2 раза. 3. $y_3=\frac{1}{2}f(-x)-3$: сдвиг графика $y_2$ вниз на 3 единицы. 4. $y=|y_3|$: часть графика $y_3$, лежащая ниже оси $Ox$, отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$. Область определения после первого шага становится $D(y)=[-5; 3]$ и далее не меняется.

Ключевые точки нового графика: $(-5, -7) \xrightarrow{f(-x)} (5,-7) \xrightarrow{/2} (5,-3.5) \xrightarrow{-3} (5,-6.5) \xrightarrow{|\cdot|} (5, 6.5)$ — ошибка в вычислениях, должно быть: $(-5,-6.5) \xrightarrow{|\cdot|} (-5,6.5)$. Правильный путь: $(5, -7) \xrightarrow{f(-x)} (-5, -7) \xrightarrow{/2} (-5, -3.5) \xrightarrow{-3} (-5, -6.5) \xrightarrow{|\cdot|} (-5, 6.5)$. $(4, 0) \rightarrow (-4, 0) \rightarrow (-4, 0) \rightarrow (-4, -3) \rightarrow (-4, 3)$. $(1, 9) \rightarrow (-1, 9) \rightarrow (-1, 4.5) \rightarrow (-1, 1.5) \rightarrow (-1, 1.5)$. $(-2, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, -3) \rightarrow (2, 3)$. $(-3, -7) \rightarrow (3, -7) \rightarrow (3, -3.5) \rightarrow (3, -6.5) \rightarrow (3, 6.5)$.

Ответ: График получен в результате 4-х последовательных преобразований: отражение по $Oy$, сжатие по $Oy$, сдвиг вниз, отражение отрицательной части относительно $Ox$.

з) (3) $y=|f(|x|)|$

План: Построение выполняется в два этапа: 1. Строим график $y_1=f(|x|)$ (как в пункте г). 2. Строим график $y=|y_1|$, для этого часть графика $y_1$, лежащая ниже оси $Ox$, отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$. Область определения такая же, как в пункте г): $x \in [-5; 5]$.

Используем ключевые точки из пункта г) для $f(|x|)$: $(-5, -7), (-4, 0), (-1, 9), (0, 8), (1, 9), (4, 0), (5, -7)$. Применяем модуль к ординатам: $(-5, -7) \rightarrow (-5, 7)$; $(-4, 0) \rightarrow (-4, 0)$; $(-1, 9) \rightarrow (-1, 9)$; $(0, 8) \rightarrow (0, 8)$; $(1, 9) \rightarrow (1, 9)$; $(4, 0) \rightarrow (4, 0)$; $(5, -7) \rightarrow (5, 7)$.

Ответ: График получается из графика $f(|x|)$ путем отражения частей, лежащих ниже оси $Ox$, вверх. Вся результирующая функция неотрицательна.