Номер 16, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (3) Составьте план и постройте график функции $f(x)=\left|\frac{4|x|+4}{|x|+2}\right|$.

План построения графика:
1. Упростим исходное выражение для функции. Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то числитель $4|x|+4$ всегда положителен (поскольку $4|x|+4 \ge 4$) и знаменатель $|x|+2$ также всегда положителен (поскольку $|x|+2 \ge 2$). Следовательно, дробь $\frac{4|x|+4}{|x|+2}$ всегда положительна, и внешний знак модуля можно опустить. Таким образом, функция имеет вид:
$f(x) = \frac{4|x|+4}{|x|+2}$.
2. Преобразуем полученное выражение, выделив целую часть, чтобы определить вид графика:
$f(x) = \frac{4(|x|+2) - 8 + 4}{|x|+2} = \frac{4(|x|+2) - 4}{|x|+2} = 4 - \frac{4}{|x|+2}$.
3. Исследуем свойства функции $f(x) = 4 - \frac{4}{|x|+2}$:
а) Четность: Функция является четной, так как $f(-x) = 4 - \frac{4}{|-x|+2} = 4 - \frac{4}{|x|+2} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
б) Асимптоты: При $x \to \pm\infty$, значение $|x| \to \infty$, следовательно, знаменатель $|x|+2 \to \infty$, а дробь $\frac{4}{|x|+2} \to 0$. Отсюда $f(x) \to 4$. Прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой графика.
в) Экстремумы и точки пересечения с осями: Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $f(0) = 4 - \frac{4}{|0|+2} = 4 - 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ — точка пересечения с осью Oy. Поскольку знаменатель $|x|+2$ достигает своего минимального значения, равного 2, при $x=0$, вычитаемое $\frac{4}{|x|+2}$ достигает своего максимального значения, равного 2. Следовательно, функция $f(x)$ в точке $x=0$ достигает своего минимума: $f_{min} = 2$. Точка $(0, 2)$ является точкой минимума. График не пересекает ось Ox, так как $f(x) \ge 2$.
4. Этапы построения графика:
а) В силу четности функции, построим ее график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразим его относительно оси Oy.
б) При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $y = 4 - \frac{4}{x+2}$. Это ветвь гиперболы.
в) На координатной плоскости отметим точку минимума $(0, 2)$ и проведем горизонтальную асимптоту $y=4$.
г) Найдем контрольную точку для $x > 0$. Например, при $x=2$, $y = 4 - \frac{4}{2+2} = 4-1=3$. Точка — $(2, 3)$.
д) Соединим точки $(0, 2)$ и $(2, 3)$ плавной кривой, которая возрастает и приближается к асимптоте $y=4$.
е) Отобразим построенную кривую симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую ветвь графика для $x < 0$.

Построение и описание графика:
На основе составленного плана, график функции $f(x)$ строится следующим образом.
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy.
Обе ветви начинаются в общей точке $(0, 2)$, которая является точкой глобального минимума функции.
При $x>0$ (правая ветвь) график представляет собой кривую, которая начинается в точке $(0, 2)$, проходит через контрольную точку $(2, 3)$ и, возрастая, асимптотически приближается снизу к прямой $y=4$.
При $x<0$ (левая ветвь) график симметричен правой ветви. Он также начинается в точке $(0, 2)$, проходит через точку $(-2, 3)$ и асимптотически приближается снизу к прямой $y=4$ при $x \to -\infty$.
Таким образом, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а область значений — полуинтервал $E(f) = [2; 4)$.

Ответ: График функции $f(x) = \left| \frac{4|x|+4}{|x|+2} \right|$ представляет собой две симметричные относительно оси Oy ветви, выходящие из общей точки минимума $(0, 2)$. По мере удаления от оси Oy в обе стороны, ветви возрастают и асимптотически приближаются к горизонтальной прямой $y=4$. Область значений функции $E(f) = [2, 4)$.