Номер 2, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1) Постройте графики функций на одной плоскости:

а) $y = x$;

б) $y = x - 2$;

В) $y = |x - 2|$;

Г) $y = |x - 2| - 1$;

Д) $y = ||x - 2| - 1|$.

По графику, полученному в Д), исследуйте функцию. Представьте, что Вам дано задание: построить график $y = ||x - 2| - 1||$. Проследите, как последовательность д)-г)-в)-б)-а) отражает составление плана построения.

Для построения графиков будем использовать метод последовательных преобразований.

а) $y = x$
Это простейшая линейная функция. Ее график – прямая линия, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, 1). Это наш базовый график.
Ответ: График функции $y=x$ – прямая, проходящая через начало координат под углом 45° к оси Ox.

б) $y = x - 2$
Этот график получается из графика функции $y=x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы вправо. Это соответствует преобразованию вида $f(x) \rightarrow f(x-a)$. Вершиной в данном контексте можно считать точку пересечения с осью Ox. Она смещается из (0,0) в (2,0).
Ответ: График функции $y=x-2$ – прямая, полученная сдвигом графика $y=x$ на 2 единицы вправо.

в) $y = |x - 2|$
Этот график получается из графика функции $y = x - 2$ применением операции взятия модуля ко всей функции: $f(x) \rightarrow |f(x)|$. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \geq 0$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Для $y = x - 2$, часть прямой при $x < 2$ находится ниже оси. Мы отражаем ее. В результате получается график, похожий на букву "V", с вершиной в точке (2, 0).
Ответ: График функции $y=|x-2|$ – график, полученный из $y=x-2$ путем отражения части прямой, лежащей под осью Ox, симметрично относительно этой оси.

г) $y = |x - 2| - 1$
Этот график получается из графика функции $y = |x - 2|$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Это соответствует преобразованию вида $f(x) \rightarrow f(x) - b$. Вершина "V" смещается из точки (2, 0) в точку (2, -1).
Ответ: График функции $y=|x-2|-1$ – график, полученный сдвигом графика $y=|x-2|$ на 1 единицу вниз.

д) $y = ||x - 2| - 1|$
Этот график получается из графика функции $y = |x - 2| - 1$ путем снова применения операции взятия модуля ко всей функции: $f(x) \rightarrow |f(x)|$. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается относительно оси Ox. В предыдущем шаге у нас получился "V"-образный график с вершиной в (2, -1). Часть этого графика между его нулями (точками $x=1$ и $x=3$) находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем вверх. Вершина из (2, -1) переместится в точку (2, 1). В результате получится график, похожий на букву "W".
Ответ: График функции $y=||x-2|-1|$ – график, полученный из $y=|x-2|-1$ путем отражения части графика, лежащей под осью Ox, симметрично относительно этой оси.

Исследование функции $y=||x-2|-1|$ по графику, полученному в д)

1. Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как функция является модулем, ее значения всегда неотрицательны. Минимальное значение равно 0, максимальное не ограничено. $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $||x-2|-1|=0$, что равносильно $|x-2|-1=0$, или $|x-2|=1$. Отсюда $x-2=1$ или $x-2=-1$. Значит, $x=3$ и $x=1$. Нули функции: $x_1=1$, $x_2=3$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$. $y=0$ при $x=1$ и $x=3$. Функция никогда не бывает отрицательной.
5. Промежутки монотонности:
- функция убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 3]$;
- функция возрастает на промежутках $[1; 2]$ и $[3; +\infty)$.
6. Точки экстремума:
- $x_{min1}=1$, $y_{min1}=0$;
- $x_{min2}=3$, $y_{min2}=0$ (точки локального и глобального минимума).
- $x_{max}=2$, $y_{max}=1$ (точка локального максимума).
7. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. Это функция общего вида. Она симметрична относительно прямой $x=2$.
8. Периодичность: Функция не является периодической.
Ответ: Функция исследована по 8 пунктам, свойства описаны выше.

Объяснение последовательности д)→г)→в)→б)→а)

Представим, что нам сразу дано задание построить график функции $y=||x-2|-1|$. Чтобы составить план построения, мы должны "разобрать" эту сложную функцию на последовательность простых шагов. Этот процесс "разбора" или анализа как раз и отражен в последовательности д)→г)→в)→б)→а).

1. (д) $y=||x-2|-1|$: Мы смотрим на самую внешнюю операцию. Это модуль. Значит, чтобы построить этот график, нам нужен график функции, стоящей под внешним модулем: $y=|x-2|-1$.

2. (г) $y=|x-2|-1|$: Теперь анализируем эту функцию. Это результат вычитания единицы из функции $y=|x-2|$. Значит, предпоследним шагом построения будет сдвиг вниз на 1.

3. (в) $y=|x-2|$: Анализируем эту функцию. Это модуль от выражения $y=x-2$. Значит, до этого нам нужно будет построить график $y=x-2$ и отразить его отрицательную часть.

4. (б) $y=x-2$: Анализируем эту функцию. Она получена из простейшей функции $y=x$ сдвигом аргумента.

5. (а) $y=x$: Это базовая, элементарная функция, с которой мы и начнем построение.

Таким образом, двигаясь от сложного к простому (от д) к а)), мы проводим анализ и декомпозицию задачи. Это позволяет нам составить план построения, который будет выполняться в обратном порядке (от а) к д)):

План построения:
1. Строим $y=x$ (а).
2. Сдвигаем его вправо на 2, получаем $y=x-2$ (б).
3. Отражаем отрицательную часть относительно оси Ox, получаем $y=|x-2|$ (в).
4. Сдвигаем вниз на 1, получаем $y=|x-2|-1$ (г).
5. Отражаем новую отрицательную часть относительно оси Ox, получаем итоговый график $y=||x-2|-1|$ (д).
Ответ: Последовательность д)→г)→в)→б)→а) представляет собой аналитический процесс "разбора" сложной функции на элементарные преобразования, что позволяет составить план ее пошагового построения, двигаясь в обратном направлении от простого к сложному (а→б→в→г→д).