Номер 1, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1) Постройте графики функций:

а) $y=\operatorname{tg}x$; б) $y=\operatorname{tg}2x$; в) $y=-\operatorname{tg}2x$; г) $y=1-\operatorname{tg}2x$.

Для построения графиков данных функций мы будем последовательно выполнять преобразования, начиная с базового графика функции $y = \tg x$.

а) $y=\tg x$

Это основная функция тангенса (тангенсоида). Для её построения вспомним её ключевые свойства:

1. Область определения: все действительные числа $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках функция терпит разрыв, а на графике находятся вертикальные асимптоты.

2. Область значений: все действительные числа, т.е. $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это значит, что график повторяется на каждом интервале длиной $\pi$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $\tg x = 0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Монотонность: функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

6. Ключевые точки на главном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$: при $x=0, y=0$; при $x=\frac{\pi}{4}, y=1$; при $x=-\frac{\pi}{4}, y=-1$.

Построение:
На координатной плоскости проводим вертикальные асимптоты $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$ и т.д. Затем на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ отмечаем точки $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$. Соединяем их плавной кривой, которая стремится к асимптотам. Повторяем эту ветвь на других интервалах с шагом $\pi$.

Ответ: График функции $y = \tg x$ – это тангенсоида, периодическая кривая с периодом $\pi$, проходящая через начало координат, возрастающая на всей области определения и имеющая вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y=\tg 2x$

График этой функции можно получить из графика $y = \tg x$ с помощью преобразования аргумента.

1. Преобразование: Замена $x$ на $2x$ соответствует сжатию графика вдоль оси Ox к оси Oy в 2 раза.

2. Период: Период функции уменьшится в 2 раза. Новый период $T' = \frac{T}{2} = \frac{\pi}{2}$.

3. Асимптоты: Исходные асимптоты были в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Теперь $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда новые асимптоты $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, $x = \pm \frac{\pi}{4}, x = \pm \frac{3\pi}{4}$ и т.д.

4. Нули функции: Исходные нули были в точках $x = \pi k$. Теперь $2x = \pi k$, откуда новые нули $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, $x=0, x=\pm \frac{\pi}{2}, x=\pm \pi$ и т.д.

5. Ключевые точки: Координаты x всех точек графика $y=\tg x$ делятся на 2. Например, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{8}, 1)$, а точка $(-\frac{\pi}{4}, -1)$ – в точку $(-\frac{\pi}{8}, -1)$. Точка $(0, 0)$ остается на месте.

Построение:
Берем график $y = \tg x$ и сжимаем его по горизонтали в 2 раза. Ветви графика станут "круче", а расстояние между асимптотами уменьшится до $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \tg 2x$ получается из графика $y = \tg x$ путем сжатия вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции равен $\frac{\pi}{2}$, а вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y=-\tg 2x$

График этой функции получается из графика $y = \tg 2x$ (построенного в предыдущем пункте) с помощью еще одного преобразования.

1. Преобразование: Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение графика относительно оси Ox.

2. Свойства: Область определения, область значений, период ($T' = \frac{\pi}{2}$), асимптоты ($x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$) и нули функции ($x = \frac{\pi k}{2}$) остаются такими же, как у функции $y = \tg 2x$.

3. Монотонность: Если $y = \tg 2x$ была возрастающей функцией на каждом интервале определения, то $y = -\tg 2x$ будет убывающей.

4. Ключевые точки: Точки графика $y = \tg 2x$ отражаются относительно оси Ox. Точка $(\frac{\pi}{8}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{8}, -1)$, а $(-\frac{\pi}{8}, -1)$ – в $(-\frac{\pi}{8}, 1)$. Точка $(0,0)$ остается на месте.

Построение:
Берем график $y = \tg 2x$ и зеркально отражаем его относительно оси абсцисс. Каждая ветвь теперь будет убывающей.

Ответ: График функции $y = -\tg 2x$ получается из графика $y = \tg 2x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. В результате возрастающие ветви тангенсоиды становятся убывающими.

г) $y=1-\tg 2x$

Данную функцию можно представить в виде $y = -\tg 2x + 1$. Её график получается из графика $y = -\tg 2x$ (построенного в пункте в)) последним преобразованием.

1. Преобразование: Прибавление константы 1 к функции означает параллельный перенос (