Номер 5, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. a) (2) Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[8\pi; 9\pi]$. Возрастающей или убывающей является последовательность чисел $\cos x_1, \cos x_2, \cos x_3, \dots, \cos x_n$?

б) (2) Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\sin x_1, \sin x_2, \sin x_3, \dots, \sin x_n$?

в) (2) Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\operatorname{ctg} x_1, \operatorname{ctg} x_2, \operatorname{ctg} x_3, \dots, \operatorname{ctg} x_n$?

а)

Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, такая что $x_1 < x_2 < x_3 < \dots < x_n$. Каждое из этих чисел принадлежит отрезку $[8\pi; 9\pi]$. Чтобы определить характер монотонности последовательности $\cos x_n$, нужно проанализировать поведение функции $y = \cos(x)$ на отрезке $[8\pi; 9\pi]$.
Функция косинуса имеет период $2\pi$. Поэтому ее поведение на отрезке $[8\pi; 9\pi]$ будет таким же, как на отрезке $[8\pi - 8\pi; 9\pi - 8\pi] = [0; \pi]$.
На отрезке $[0; \pi]$ функция $y = \cos(x)$ является монотонно убывающей (ее значение изменяется от $\cos(0)=1$ до $\cos(\pi)=-1$).
Поскольку функция $y = \cos(x)$ убывает на отрезке $[8\pi; 9\pi]$, а последовательность аргументов $x_n$ возрастает, то для любых двух последовательных членов $x_k < x_{k+1}$ будет выполняться неравенство $\cos(x_k) > \cos(x_{k+1})$.
Следовательно, последовательность $\cos x_1, \cos x_2, \cos x_3, \dots, \cos x_n$ является убывающей.
Ответ: Последовательность является убывающей.

б)

Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, такая что $x_1 < x_2 < x_3 < \dots < x_n$. Каждое из этих чисел принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Чтобы определить характер монотонности последовательности $\sin x_n$, нужно проанализировать поведение функции $y = \sin(x)$ на отрезке $[-9\pi; -8\pi]$.
Функция синуса имеет период $2\pi$. Ее поведение на отрезке $[-9\pi; -8\pi]$ будет таким же, как на отрезке $[-9\pi + 8\pi; -8\pi + 8\pi] = [-\pi; 0]$.
На отрезке $[-\pi; 0]$ функция $y = \sin(x)$ не является монотонной. Она убывает на промежутке $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$ (что соответствует отрезку $[-9\pi; -8.5\pi]$) и возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ (что соответствует отрезку $[-8.5\pi; -8\pi]$).
Так как на заданном отрезке $[-9\pi; -8\pi]$ функция $y=\sin(x)$ не монотонна, то и последовательность $\sin x_1, \sin x_2, \dots, \sin x_n$ в общем случае не будет монотонной. Например, если выбрать $x_1 = -8.6\pi$, $x_2 = -8.5\pi$ и $x_3 = -8.4\pi$, то $x_1 < x_2 < x_3$. При этом $\sin(x_1) > \sin(x_2)$ (так как на этом участке функция убывает), а $\sin(x_2) < \sin(x_3)$ (так как на этом участке функция возрастает). Таким образом, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: Последовательность в общем случае не является монотонной.

в)

Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, такая что $x_1 > x_2 > x_3 > \dots > x_n$. Каждое из этих чисел принадлежит отрезку $[-9\pi; -8\pi]$. Чтобы определить характер монотонности последовательности $\text{ctg } x_n$, нужно проанализировать поведение функции $y = \text{ctg}(x)$ на интервале $(-9\pi; -8\pi)$ (концы отрезка исключаем, так как котангенс в точках $k\pi$ не определен).
Функция котангенса имеет период $\pi$. Ее поведение на интервале $(-9\pi; -8\pi)$ будет таким же, как на интервале $(-9\pi + 9\pi; -8\pi + 9\pi) = (0; \pi)$.
На интервале $(0; \pi)$ функция $y = \text{ctg}(x)$ является монотонно убывающей.
Итак, мы применяем монотонно убывающую функцию $y = \text{ctg}(x)$ к монотонно убывающей последовательности аргументов $x_n$.
Для любых двух последовательных членов $x_k > x_{k+1}$, из-за того что функция котангенса убывает на данном интервале, будет выполняться неравенство $\text{ctg}(x_k) < \text{ctg}(x_{k+1})$.
Следовательно, последовательность $\text{ctg } x_1, \text{ctg } x_2, \text{ctg } x_3, \dots, \text{ctg } x_n$ является возрастающей.
Ответ: Последовательность является возрастающей.