Номер 9, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (2) Укажите множество значений функции $y = f(x)$:

а) $y=\cos 2x$;

б) $y=2\cos 2x-1$;

в) $y=|\cos 3x|+4$;

г) $y=5\cos^2 x-3$.

а) Для нахождения множества значений функции $y=\cos 2x$ необходимо определить, какие значения может принимать функция при всех возможных значениях $x$.

Функция косинус, $f(t) = \cos t$, определена для всех действительных чисел $t$. Её множество значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого аргумента $t$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos t \le 1$.

В данном случае аргументом является выражение $2x$. Поскольку переменная $x$ может принимать любые действительные значения, то и выражение $2x$ также пробегает все действительные значения. Следовательно, умножение аргумента на 2 не изменяет множества значений функции косинус.

Таким образом, для функции $y=\cos 2x$ множество значений также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y=2\cos 2x - 1$ воспользуемся методом оценки, исходя из известного множества значений для $\cos 2x$.

Как мы установили в пункте а), значения $\cos 2x$ лежат в пределах от -1 до 1 включительно:

$-1 \le \cos 2x \le 1$

Чтобы получить выражение $2\cos 2x$, умножим все части этого неравенства на 2:

$2 \cdot (-1) \le 2\cos 2x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2\cos 2x \le 2$

Теперь, чтобы получить итоговое выражение $y$, вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 - 1 \le 2\cos 2x - 1 \le 2 - 1$

$-3 \le y \le 1$

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-3, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-3, 1]$.

в) Рассмотрим функцию $y=|\cos 3x| + 4$.

Сначала определим множество значений для выражения $\cos 3x$. Аналогично пункту а), оно равно отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Далее, рассмотрим модуль этого выражения, $|\cos 3x|$. Модуль любого числа из отрезка $[-1, 1]$ является неотрицательным и не превышает 1. Таким образом, множество значений для $|\cos 3x|$ — это отрезок $[0, 1]$:

$0 \le |\cos 3x| \le 1$

Наконец, чтобы получить $y$, прибавим 4 ко всем частям этого неравенства:

$0 + 4 \le |\cos 3x| + 4 \le 1 + 4$

$4 \le y \le 5$

Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[4, 5]$.

Ответ: $E(y) = [4, 5]$.

г) Найдем множество значений для функции $y=5\cos^2 x - 3$.

Начнем с множества значений для $\cos x$, которое равно отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos x \le 1$

Теперь возведем в квадрат. Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Минимальное значение $(\cos x)^2$ равно 0 (когда $\cos x = 0$), а максимальное значение равно 1 (когда $\cos x = \pm 1$). Таким образом:

$0 \le \cos^2 x \le 1$

Умножим все части неравенства на 5:

$5 \cdot 0 \le 5\cos^2 x \le 5 \cdot 1$

$0 \le 5\cos^2 x \le 5$

И в завершение, вычтем 3 из всех частей неравенства:

$0 - 3 \le 5\cos^2 x - 3 \le 5 - 3$

$-3 \le y \le 2$

Следовательно, множество значений функции $y=5\cos^2 x - 3$ — это отрезок $[-3, 2]$.

Ответ: $E(y) = [-3, 2]$.