Номер 16, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (1) Постройте графики функций:

а) $y=\operatorname{tg} x$;

б) $y=|\operatorname{tg} x|$;

в) $y=|\operatorname{tg}(x+\frac{\pi}{4})|$;

г) $y=|\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}-x)|$.

а) $y = \text{tg } x$

График функции $y = \text{tg } x$ называется тангенсоидой. Для его построения проанализируем свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.

2. Область значений: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это значит, что для построения всего графика достаточно построить его на любом промежутке длиной $\pi$, например, на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, а затем сдвигать полученную ветвь вдоль оси $Ox$ на $\pi k$.

4. Нули функции: $y = 0$ при $\text{tg } x = 0$, что выполняется при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Возрастание: функция строго возрастает на каждом интервале своей области определения.

Построение:

- Начертим оси координат и отметим вертикальные асимптоты, например, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

- Найдем несколько контрольных точек на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$:

- при $x = -\frac{\pi}{4}$, $y = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$;

- при $x = 0$, $y = \text{tg}(0) = 0$;

- при $x = \frac{\pi}{4}$, $y = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

- Соединим эти точки плавной кривой, которая стремится к асимптотам при приближении $x$ к $-\frac{\pi}{2}$ (справа) и к $\frac{\pi}{2}$ (слева).

- Используя периодичность, повторим эту ветвь на других интервалах.

Ответ: График функции $y=\text{tg } x$ (тангенсоида) — это бесконечная последовательность одинаковых возрастающих кривых (ветвей), каждая из которых расположена между двумя вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi (k+1)$.

б) $y = |\text{tg } x|$

График функции $y = |\text{tg } x|$ строится на основе графика $y = \text{tg } x$ с помощью преобразования $y = |f(x)|$. Это преобразование заключается в следующем:

1. Часть графика функции $y = f(x)$, которая находится выше или на оси абсцисс ($y \ge 0$), остается без изменений.

2. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс.

Построение:

- Сначала строим график $y = \text{tg } x$ (как в пункте а).

- Ветви тангенсоиды на интервалах, где $\text{tg } x \ge 0$ (например, на $[0, \frac{\pi}{2})$), оставляем без изменений.

- Ветви тангенсоиды на интервалах, где $\text{tg } x < 0$ (например, на $(-\frac{\pi}{2}, 0)$), отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

В результате все части графика оказываются в верхней полуплоскости.

Ответ: График функции $y=|\text{tg } x|$ состоит из ветвей, расположенных в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты остаются теми же: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Нули функции (точки касания с осью $Ox$) находятся в точках $x = \pi k$. Период функции равен $\pi$.

в) $y = |\text{tg}(x + \frac{\pi}{4})|$

График этой функции можно получить из графика $y = |\text{tg } x|$ (построенного в пункте б)) с помощью геометрического преобразования — сдвига.

Правило преобразования: график функции $y = f(x+a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц влево, если $a > 0$.

В нашем случае $f(x) = |\text{tg } x|$ и $a = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, мы должны сдвинуть график $y = |\text{tg } x|$ влево на $\frac{\pi}{4}$.

Построение:

- Берем за основу график $y = |\text{tg } x|$.

- Сдвигаем все его точки влево на $\frac{\pi}{4}$. При этом сдвигаются и все ключевые элементы графика:

- Асимптоты: исходные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ смещаются и становятся $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

- Нули: исходные нули $x = \pi k$ смещаются и становятся $x = \pi k - \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y=|\text{tg}(x + \frac{\pi}{4})|$ — это график функции $y=|\text{tg } x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{4}$. Его вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, а точки касания с осью $Ox$ — $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = |\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)|$

Для построения этого графика сначала упростим выражение под знаком модуля, используя свойства тригонометрических функций.

1. Тангенс — нечетная функция, то есть $\text{tg}(-z) = -\text{tg}(z)$. Поэтому:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \text{tg}(- (x - \frac{\pi}{4})) = -\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$

2. Модуль числа не зависит от его знака, то есть $|-a| = |a|$. Поэтому:

$y = |\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)| = |-\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})| = |\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})|$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = |\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})|$.

Этот график получается из графика $y = |\text{tg } x|$ (из пункта б)) сдвигом. Правило преобразования: график функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц вправо, если $a > 0$.

В нашем случае $f(x) = |\text{tg } x|$ и $a = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, мы должны сдвинуть график $y = |\text{tg } x|$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

Построение:

- Берем за основу график $y = |\text{tg } x|$.

- Сдвигаем все его точки вправо на $\frac{\pi}{4}$:

- Асимптоты: $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

- Нули: $x = \pi k + \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График функции $y=|\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)|$ совпадает с графиком функции $y=|\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})|$ и представляет собой график $y=|\text{tg } x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{4}$. Его вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, а точки касания с осью $Ox$ — $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.