Номер 19, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. Для следующих функций определите один из периодов, по возможно-сти, наименьший:

a)(2) $f(x)=\sin x+\sin 2x$; 6)(2) $g(x)=\sin \frac{2}{3}x-\cos 3x$;

в)(3) $h(x)=\operatorname{tg}1.5x \cdot \cos 2x$.

а) $f(x)=\sin x+\sin 2x$
Данная функция представляет собой сумму двух периодических функций: $f_1(x)=\sin x$ и $f_2(x)=\sin 2x$.
Наименьший положительный период (основной период) для функции вида $y=\sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для слагаемого $f_1(x)=\sin x$ коэффициент $k=1$, следовательно, его период $T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
Для слагаемого $f_2(x)=\sin 2x$ коэффициент $k=2$, следовательно, его период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Наименьший положительный период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
Таким образом, искомый период $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \pi)$.
Чтобы найти НОК, мы ищем наименьшее положительное число $T$, которое одновременно является кратным $T_1$ и $T_2$. Это означает, что существуют натуральные числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 \cdot 2\pi = n_2 \cdot \pi$.
Разделив обе части на $\pi$, получаем: $2n_1 = n_2$.
Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому равенству, — это $n_1=1$ и $n_2=2$.
Подставляя $n_1=1$ в выражение для $T$, получаем: $T = 1 \cdot 2\pi = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$

б) $g(x)=\sin\frac{2}{3}x-\cos 3x$
Данная функция является разностью двух периодических функций: $g_1(x)=\sin\frac{2}{3}x$ и $g_2(x)=\cos 3x$.
Основной период для функций $y=\sin(kx)$ и $y=\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $g_1(x)=\sin\frac{2}{3}x$ коэффициент $k=\frac{2}{3}$, её период $T_1 = \frac{2\pi}{|2/3|} = 3\pi$.
Для функции $g_2(x)=\cos 3x$ коэффициент $k=3$, её период $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Наименьший положительный период разности функций равен НОК их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(3\pi, \frac{2\pi}{3})$.
Ищем наименьшее положительное число $T$ и натуральные числа $n_1, n_2$, для которых выполняется равенство: $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 \cdot 3\pi = n_2 \cdot \frac{2\pi}{3}$.
Разделим на $\pi$: $3n_1 = \frac{2n_2}{3}$, что эквивалентно $9n_1 = 2n_2$.
Так как числа 9 и 2 взаимно простые, наименьшими натуральными числами, удовлетворяющими этому уравнению, являются $n_1=2$ и $n_2=9$.
Теперь находим период $T$: $T = n_1 \cdot T_1 = 2 \cdot 3\pi = 6\pi$.
(Проверка через $T_2$: $T = n_2 \cdot T_2 = 9 \cdot \frac{2\pi}{3} = 6\pi$).
Ответ: $6\pi$

в) $h(x)=\mathrm{tg}\,1,5x \cdot \cos 2x$
Перепишем функцию как $h(x)=\tan(\frac{3}{2}x) \cdot \cos 2x$. Она является произведением двух периодических функций: $h_1(x)=\tan(\frac{3}{2}x)$ и $h_2(x)=\cos 2x$.
Основной период для функции вида $y=\tan(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.
Для функции $h_1(x)=\tan(\frac{3}{2}x)$ коэффициент $k=\frac{3}{2}$, её период $T_1 = \frac{\pi}{|3/2|} = \frac{2\pi}{3}$.
Основной период для функции $y=\cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $h_2(x)=\cos 2x$ коэффициент $k=2$, её период $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Период произведения функций, как правило, равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \pi)$.
Ищем наименьшее положительное число $T$ и натуральные числа $n_1, n_2$, для которых $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 \cdot \frac{2\pi}{3} = n_2 \cdot \pi$.
Разделим на $\pi$: $\frac{2n_1}{3} = n_2$.
Наименьшими натуральными числами, удовлетворяющими этому равенству, являются $n_1=3$ и $n_2=2$.
Находим период $T$: $T = n_1 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.
(Проверка через $T_2$: $T = n_2 \cdot T_2 = 2 \cdot \pi = 2\pi$).
Ответ: $2\pi$