Номер 20, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (2) Каждую из следующих функций исследуйте на четность:

а) $f_1(x)=\text{ctg}\frac{1}{2}x$, $f_2(x)=1+\text{ctg}^3 x$, $f_3(x)=x^{55}\text{ctg}3x$, $f_4(x)=\frac{|x^3|}{\text{ctg}37x}$;

б) $g_1(x)=\sin x+\cos x$, $g_2(x)=(\sin x-\cos x)^2-1$, $g_3(x)=\sin(12x-\pi)$, $g_4(x)=\text{tg}(-4x)+2015x^{2015}$.

Для исследования функции $f(x)$ на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$.

2. Должно выполняться одно из равенств:

- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является четной.

- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

Для функции $f_1(x) = \text{ctg} \frac{1}{2}x$. Область определения $D(f_1)$: $\frac{1}{2}x \neq \pi k$, то есть $x \neq 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля. Найдем $f_1(-x)$: $f_1(-x) = \text{ctg}(\frac{1}{2}(-x)) = \text{ctg}(-\frac{x}{2})$. Поскольку котангенс — нечетная функция ($\text{ctg}(-u) = -\text{ctg}(u)$), то $f_1(-x) = -\text{ctg}(\frac{x}{2}) = -f_1(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $f_2(x) = 1 + \text{ctg}^3 x$. Область определения $D(f_2)$: $x \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, она симметрична относительно нуля. Найдем $f_2(-x)$: $f_2(-x) = 1 + \text{ctg}^3(-x) = 1 + (\text{ctg}(-x))^3 = 1 + (-\text{ctg}x)^3 = 1 - \text{ctg}^3x$. Так как $f_2(-x) \neq f_2(x)$ и $f_2(-x) \neq -f_2(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: ни четная, ни нечетная.

Для функции $f_3(x) = x^{55} \text{ctg} 3x$. Область определения $D(f_3)$: $3x \neq \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$, она симметрична. Найдем $f_3(-x)$: $f_3(-x) = (-x)^{55} \text{ctg}(3(-x)) = -x^{55} \text{ctg}(-3x)$. Так как котангенс — нечетная функция, $f_3(-x) = -x^{55} (-\text{ctg}(3x)) = x^{55} \text{ctg}(3x) = f_3(x)$. Следовательно, функция является четной (как произведение двух нечетных функций $y=x^{55}$ и $y=\text{ctg}(3x)$). Ответ: четная.

Для функции $f_4(x) = \frac{|x^3|}{\text{ctg} 37x}$. Область определения $D(f_4)$: $37x \neq \pi k$ и $\text{ctg}(37x) \neq 0$ ($37x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$), область симметрична. Найдем $f_4(-x)$: $f_4(-x) = \frac{|(-x)^3|}{\text{ctg}(37(-x))} = \frac{|-x^3|}{\text{ctg}(-37x)}$. Используя свойства $|-u| = |u|$ и $\text{ctg}(-v) = -\text{ctg}(v)$, получаем $f_4(-x) = \frac{|x^3|}{-\text{ctg}(37x)} = - \frac{|x^3|}{\text{ctg}(37x)} = -f_4(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $g_1(x) = \sin x + \cos x$. Область определения $D(g_1) = \mathbb{R}$, она симметрична. Найдем $g_1(-x)$: $g_1(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x$. Так как $g_1(-x) \neq g_1(x)$ и $g_1(-x) \neq -g_1(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ответ: ни четная, ни нечетная.

Для функции $g_2(x) = (\sin x - \cos x)^2 - 1$. Область определения $D(g_2) = \mathbb{R}$, она симметрична. Упростим выражение: $g_2(x) = (\sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x) - 1 = (1 - 2\sin x \cos x) - 1 = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$. Теперь исследуем функцию $g_2(x) = -\sin(2x)$. Найдем $g_2(-x) = -\sin(2(-x)) = -\sin(-2x) = -(-\sin(2x)) = \sin(2x)$. Так как $-g_2(x) = -(-\sin(2x)) = \sin(2x)$, то $g_2(-x) = -g_2(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $g_3(x) = \sin(12x - \pi)$. Область определения $D(g_3) = \mathbb{R}$, она симметрична. Используя формулу приведения $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)$, получаем $g_3(x) = -\sin(12x)$. Исследуем эту функцию: $g_3(-x) = -\sin(12(-x)) = -\sin(-12x) = -(-\sin(12x)) = \sin(12x)$. Так как $-g_3(x) = -(-\sin(12x)) = \sin(12x)$, то $g_3(-x) = -g_3(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Ответ: нечетная.

Для функции $g_4(x) = \text{tg}(-4x) + 2015x^{2015}$. Область определения $D(g_4)$: $-4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{4}$ для $k \in \mathbb{Z}$, она симметрична. Функция является суммой двух функций: $h_1(x) = \text{tg}(-4x) = -\text{tg}(4x)$ и $h_2(x) = 2015x^{2015}$. Обе функции являются нечетными ($h_1$ как нечетная функция тангенса, $h_2$ как степенная функция с нечетным показателем). Сумма двух нечетных функций есть нечетная функция. Проверим: $g_4(-x) = \text{tg}(-4(-x)) + 2015(-x)^{2015} = \text{tg}(4x) - 2015x^{2015}$. При этом $-g_4(x) = -(-\text{tg}(4x) + 2015x^{2015}) = \text{tg}(4x) - 2015x^{2015}$. Таким образом, $g_4(-x) = -g_4(x)$, и функция нечетная. Ответ: нечетная.