Номер 14, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (4)Уровень воды Капчагайского водохранилища описывается функцией $h(t)=475-3\cos\frac{\pi}{6}t$, где $h(t)$ – высота (в метрах) над уровнем моря,

$t$ – номер месяца.

а) Чему равно наибольшее значение уровня воды в водохранилище? В каком месяце оно достигается?

б) Чему равно наименьшее значение уровня воды в водохранилище? В каком месяце оно достигается?

а) Для нахождения наибольшего значения функции $h(t) = 475 - 3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ необходимо, чтобы вычитаемое выражение $3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ было как можно меньше. Поскольку область значений функции косинуса находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$, наименьшее значение выражения $3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ будет достигнуто, когда $\cos(\frac{\pi}{6}t)$ примет свое минимальное значение, равное -1.

Тогда наибольшее значение уровня воды $h_{max}$ будет равно:

$h_{max} = 475 - 3 \cdot (-1) = 475 + 3 = 478$ метров.

Чтобы найти, в каком месяце $t$ это происходит, решим уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}t) = -1$

Общее решение для этого тригонометрического уравнения имеет вид $\frac{\pi}{6}t = \pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Сократим на $\pi$: $\frac{t}{6} = 1 + 2k$.

Выразим $t$: $t = 6 + 12k$.

Поскольку $t$ – это номер месяца (положительное целое число), возьмем наименьшее подходящее значение, которое получается при $k=0$:

$t = 6 + 12 \cdot 0 = 6$.

Наибольший уровень воды достигается в 6-м месяце (июне).

Ответ: наибольшее значение уровня воды равно 478 метрам и достигается в 6-м месяце.

б) Для нахождения наименьшего значения функции $h(t) = 475 - 3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ необходимо, чтобы вычитаемое выражение $3\cos(\frac{\pi}{6}t)$ было как можно больше. Это произойдет, когда $\cos(\frac{\pi}{6}t)$ примет свое максимальное значение, равное 1.

Тогда наименьшее значение уровня воды $h_{min}$ будет равно:

$h_{min} = 475 - 3 \cdot 1 = 475 - 3 = 472$ метра.

Чтобы найти, в каком месяце $t$ это происходит, решим уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}t) = 1$

Общее решение для этого уравнения имеет вид $\frac{\pi}{6}t = 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Сократим на $\pi$: $\frac{t}{6} = 2k$.

Выразим $t$: $t = 12k$.

Поскольку $t$ – это номер месяца, нам нужно найти наименьшее положительное целое решение. При $k=0$ получаем $t=0$, что не является номером месяца. При $k=1$ получаем:

$t = 12 \cdot 1 = 12$.

Наименьший уровень воды достигается в 12-м месяце (декабре).

Ответ: наименьшее значение уровня воды равно 472 метрам и достигается в 12-м месяце.