Номер 18, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (3) Среди следующих функций определите периодические и укажите их главный период:

а) $f_0(x)=\cos \frac{2\pi}{7}\sin 57x+\sin \frac{2\pi}{7}\cos 57x$, $f_1(x)=\cos^2 \frac{2}{3}x+\sin^2 \frac{2}{3}x$,

$f_2(x)=\left(\cos \frac{2}{3}x+\sin \frac{2}{3}x\right)^2$, $f_3(x)=x^2|\sin x|$;

б) $g_0(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\sqrt{7}x-\frac{\pi}{7}\right)$, $g_1(x)=\cos^2 \frac{\pi}{5}x-\sin^2 \frac{\pi}{5}x$, $g_2(x)=x^3-\cos^4 x$,

$g_3(x)=\cos^4 x$;

в) $h_0(x)=\frac{1}{2-\text{ctg }3\pi x}$; $h_1(x)=\frac{x}{2-\text{ctg }3\pi x}$, $h_2(x)=1+\text{ctg}^2 x$.

а)

Рассмотрим функцию $f_0(x) = \cos\frac{2\pi}{7}\sin57x + \sin\frac{2\pi}{7}\cos57x$. Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$. Полагая $\alpha=57x$ и $\beta=\frac{2\pi}{7}$, получим: $f_0(x)=\sin(57x+\frac{2\pi}{7})$. Это гармоническая функция, ее главный период вычисляется по формуле $T=\frac{2\pi}{|k|}$. Здесь коэффициент $k=57$, следовательно, главный период $T_0 = \frac{2\pi}{57}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $f_1(x) = \cos\frac{2}{3}x + \sin\frac{2}{3}x$. Это сумма двух функций: $\cos\frac{2}{3}x$ и $\sin\frac{2}{3}x$. Обе функции имеют одинаковый главный период $T = \frac{2\pi}{|2/3|} = 3\pi$. Преобразуем выражение: $f_1(x) = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{2}{3}x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{2}{3}x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{2}{3}x + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{2}{3}x) = \sqrt{2}\cos(\frac{2}{3}x - \frac{\pi}{4})$. Это гармоническая функция с коэффициентом $k=2/3$, ее главный период $T_1 = \frac{2\pi}{|2/3|} = 3\pi$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $f_2(x) = (\cos\frac{2}{3}x + \sin\frac{2}{3}x)^2$. Раскроем скобки: $f_2(x) = \cos^2\frac{2}{3}x + 2\cos\frac{2}{3}x\sin\frac{2}{3}x + \sin^2\frac{2}{3}x$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем: $f_2(x) = 1 + \sin(2 \cdot \frac{2}{3}x) = 1 + \sin(\frac{4}{3}x)$. Это гармоническая функция, сдвинутая по оси ординат. Ее период определяется слагаемым $\sin(\frac{4}{3}x)$. Главный период $T_2 = \frac{2\pi}{|4/3|} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $f_3(x) = x^2|\sin x|$. Функция $|\sin x|$ является периодической с главным периодом $\pi$. Однако множитель $x^2$ не является периодической функцией. Предположим, что функция $f_3(x)$ периодическая с периодом $T>0$. Тогда должно выполняться равенство $f_3(x+T) = f_3(x)$ для всех $x$, то есть $(x+T)^2|\sin(x+T)| = x^2|\sin x|$. Если выбрать $T=k\pi$ для целого $k\neq0$, то $|\sin(x+k\pi)|=|\sin x|$. Тогда равенство примет вид $(x+k\pi)^2|\sin x| = x^2|\sin x|$. Для $x$, где $|\sin x|\neq0$, получаем $(x+k\pi)^2=x^2$, что неверно для всех $x$. Следовательно, функция $f_3(x)$ не является периодической.

Ответ: периодические функции: $f_0(x)$ с главным периодом $T_0=\frac{2\pi}{57}$, $f_1(x)$ с главным периодом $T_1=3\pi$, $f_2(x)$ с главным периодом $T_2=\frac{3\pi}{2}$; функция $f_3(x)$ не является периодической.

б)

Рассмотрим функцию $g_0(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\sqrt{7}x - \frac{\pi}{7})$. Это гармоническая функция вида $y=A\cos(kx+\phi)$. Ее главный период равен $T=\frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\sqrt{7}$, следовательно, главный период $T_0 = \frac{2\pi}{\sqrt{7}}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $g_1(x) = \cos^2\frac{\pi}{5}x - \sin^2\frac{\pi}{5}x$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Полагая $\alpha=\frac{\pi}{5}x$, получим $g_1(x) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{5}x) = \cos(\frac{2\pi}{5}x)$. Это гармоническая функция с коэффициентом $k=\frac{2\pi}{5}$. Ее главный период $T_1 = \frac{2\pi}{|2\pi/5|} = 5$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $g_2(x) = x^3 - \cos^4x$. Эта функция является разностью непериодической функции $y_1=x^3$ и периодической функции $y_2=\cos^4x$ (период $\cos^4x$ равен $\pi$). Сумма или разность периодической и непериодической функции является непериодической функцией. Предположим, что $g_2(x)$ периодична с периодом $T>0$. Тогда $g_2(x+T) = g_2(x)$. Возьмем $T=k\pi$ для целого $k\neq0$. Тогда $\cos^4(x+k\pi)=\cos^4x$, и равенство примет вид $(x+k\pi)^3-\cos^4x = x^3-\cos^4x$, откуда $(x+k\pi)^3=x^3$, что неверно для всех $x$. Следовательно, функция $g_2(x)$ не является периодической.

Рассмотрим функцию $g_3(x) = \cos^4x$. Так как $\cos(x+\pi)=-\cos x$, то $g_3(x+\pi) = \cos^4(x+\pi) = (-\cos x)^4 = \cos^4x = g_3(x)$. Таким образом, $\pi$ является периодом. Можно показать, что это главный период, используя формулы понижения степени: $\cos^4x = (\frac{1+\cos(2x)}{2})^2 = \frac{1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)}{4} = \frac{1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}}{4} = \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)$. Периоды слагаемых: $T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$ и $T_2=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$. Главный период суммы равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых: $T_3=\text{НОК}(\pi, \frac{\pi}{2})=\pi$. Функция периодическая.

Ответ: периодические функции: $g_0(x)$ с главным периодом $T_0=\frac{2\pi}{\sqrt{7}}$, $g_1(x)$ с главным периодом $T_1=5$, $g_3(x)$ с главным периодом $T_3=\pi$; функция $g_2(x)$ не является периодической.

в)

Рассмотрим функцию $h_0(x) = \frac{1}{2-\text{ctg}(3\pi x)}$. Периодичность функции определяется периодичностью функции $\text{ctg}(3\pi x)$. Главный период функции $\text{ctg}(y)$ равен $\pi$. Для функции $\text{ctg}(kx)$ главный период равен $T=\frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k=3\pi$, поэтому главный период $T_0 = \frac{\pi}{|3\pi|} = \frac{1}{3}$. Функция периодическая.

Рассмотрим функцию $h_1(x) = \frac{x}{2-\text{ctg}(3\pi x)}$. Эта функция является частным от деления непериодической функции $y_1=x$ на периодическую функцию $y_2=2-\text{ctg}(3\pi x)$ (с периодом $1/3$). Предположим, что $h_1(x)$ периодична с периодом $T>0$. Тогда $h_1(x+T)=h_1(x)$. Возьмем $T=k/3$ для целого $k\neq0$. Тогда $\text{ctg}(3\pi(x+k/3)) = \text{ctg}(3\pi x+k\pi)=\text{ctg}(3\pi x)$, и равенство примет вид $\frac{x+k/3}{2-\text{ctg}(3\pi x)} = \frac{x}{2-\text{ctg}(3\pi x)}$. Отсюда $x+k/3=x$, что неверно, так как $k\neq0$. Следовательно, функция $h_1(x)$ не является периодической.

Рассмотрим функцию $h_2(x) = 1 + \text{ctg}^2x$. Период функции $\text{ctg} x$ равен $\pi$. Так как $\text{ctg}(x+\pi)=\text{ctg} x$, то $h_2(x+\pi) = 1+\text{ctg}^2(x+\pi) = 1+(\text{ctg} x)^2 = h_2(x)$. Период $\pi$ является главным, так как для $T=\pi/2$, $h_2(x+\pi/2) = 1+\text{ctg}^2(x+\pi/2) = 1+(-\text{tg} x)^2 = 1+\text{tg}^2x \neq h_2(x)$ в общем случае. Также можно использовать тождество $1+\text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$. Главный период функции $\sin^2x$ равен $\pi$, следовательно, главный период функции $h_2(x)$ также равен $\pi$. Функция периодическая.

Ответ: периодические функции: $h_0(x)$ с главным периодом $T_0=\frac{1}{3}$, $h_2(x)$ с главным периодом $T_2=\pi$; функция $h_1(x)$ не является периодической.