Номер 21, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. a)(2) Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[-8\pi; -6\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\cos x_1, \cos x_2, \cos x_3, \dots, \cos x_n$?

б)(2) Дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\sin x_1, \sin x_2, \sin x_3, \dots, \sin x_n$?

в)(2) Дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, каждое из которых принадлежит отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$. Что можно сказать о монотонности последовательности $\operatorname{tg} x_1, \operatorname{tg} x_2, \operatorname{tg} x_3, \dots, \operatorname{tg} x_n$?

а)

По условию, дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, то есть $x_1 > x_2 > \dots > x_n$. Все члены этой последовательности принадлежат отрезку $[-8\pi; -6\pi]$.
Нам нужно определить характер монотонности последовательности $y_k = \cos(x_k)$. Для этого исследуем поведение функции $f(x) = \cos(x)$ на отрезке $[-8\pi; -6\pi]$.
Функция $f(x) = \cos(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Поведение функции на отрезке $[-8\pi; -6\pi]$ такое же, как и на отрезке $[0; 2\pi]$, так как $[-8\pi; -6\pi] = [0 - 4 \cdot 2\pi; 2\pi - 4 \cdot 2\pi]$.
Отрезок $[-8\pi; -6\pi]$ можно разбить на два промежутка монотонности для функции косинуса:

1. На отрезке $[-8\pi; -7\pi]$ функция $\cos(x)$ убывает (аналогично поведению на $[0; \pi]$).
2. На отрезке $[-7\pi; -6\pi]$ функция $\cos(x)$ возрастает (аналогично поведению на $[\pi; 2\pi]$).

Поскольку функция $\cos(x)$ не является монотонной на всем отрезке $[-8\pi; -6\pi]$, характер монотонности последовательности $\cos(x_n)$ будет зависеть от расположения членов последовательности $x_n$ относительно точки $x = -7\pi$.

Возможны следующие случаи:

- Если все члены последовательности $x_n$ принадлежат отрезку $[-8\pi; -7\pi]$, то, поскольку $x_n$ убывает, а $\cos(x)$ на этом отрезке также убывает, последовательность $\cos(x_n)$ будет возрастающей (убывающая функция от убывающей последовательности).
- Если все члены последовательности $x_n$ принадлежат отрезку $[-7\pi; -6\pi]$, то, поскольку $x_n$ убывает, а $\cos(x)$ на этом отрезке возрастает, последовательность $\cos(x_n)$ будет убывающей (возрастающая функция от убывающей последовательности).
- Если последовательность $x_n$ "пересекает" точку $-7\pi$ (то есть существуют такие $x_i$ и $x_j$, что $x_i > -7\pi$ и $x_j < -7\pi$), то последовательность $\cos(x_n)$ не будет монотонной. Например, для последовательности $x_1 = -6.5\pi, x_2 = -7\pi, x_3 = -7.5\pi$ имеем $\cos(x_1) = 0$, $\cos(x_2) = -1$, $\cos(x_3) = 0$. Последовательность $0, -1, 0$ не является монотонной.

Таким образом, в общем случае нельзя однозначно определить монотонность последовательности.

Ответ: Последовательность в общем случае не является монотонной. Она может быть возрастающей, убывающей или немонотонной в зависимости от расположения членов последовательности $x_n$ относительно точки $-7\pi$.

б)

По условию, дана возрастающая последовательность чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, то есть $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Все члены этой последовательности принадлежат отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$.
Нам нужно определить характер монотонности последовательности $y_k = \sin(x_k)$. Для этого исследуем поведение функции $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[80,5\pi; 81\pi]$.
Функция $f(x) = \sin(x)$ является периодической с периодом $2\pi$. Преобразуем границы отрезка:
$80,5\pi = 80\pi + 0,5\pi = 40 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$
$81\pi = 80\pi + \pi = 40 \cdot 2\pi + \pi$
Следовательно, поведение функции $\sin(x)$ на отрезке $[80,5\pi; 81\pi]$ такое же, как и на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.
На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\sin(x)$ является убывающей (ее значения изменяются от $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ до $\sin(\pi)=0$). Производная $(\sin x)' = \cos x$ на этом интервале отрицательна.
Таким образом, функция $\sin(x)$ убывает на всем отрезке $[80,5\pi; 81\pi]$.
Поскольку последовательность $x_n$ возрастает, а функция $\sin(x)$ на области значений $x_n$ убывает, то результирующая последовательность $\sin(x_n)$ будет убывающей. Если $x_k < x_{k+1}$ и $f$ — убывающая функция, то $f(x_k) > f(x_{k+1})$.

Ответ: Последовательность является убывающей.

в)

По условию, дана убывающая последовательность чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, то есть $x_1 > x_2 > \dots > x_n$. Все члены этой последовательности принадлежат отрезку $[80,5\pi; 81\pi]$.
Нам нужно определить характер монотонности последовательности $y_k = \tan(x_k)$.
Функция $f(x) = \tan(x)$ не определена в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число. Левая граница данного отрезка, $x = 80,5\pi = \frac{\pi}{2} + 80\pi$, является одной из таких точек. Поэтому, чтобы последовательность $\tan(x_n)$ была определена для всех ее членов, необходимо, чтобы $x_n \neq 80,5\pi$ для всех $n$. Будем исходить из этого предположения, то есть все $x_n \in (80,5\pi; 81\pi]$.
Исследуем поведение функции $f(x) = \tan(x)$ на интервале $(80,5\pi; 81\pi]$.
Функция $\tan(x)$ имеет период $\pi$. Поведение функции на $(80,5\pi; 81\pi]$ такое же, как на интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi]$, так как $80,5\pi = 80\pi + 0,5\pi$ и $81\pi = 80\pi + \pi$.
Производная функции $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Так как $\cos^2 x > 0$ на любом интервале, где тангенс определен, производная всегда положительна. Это означает, что функция $\tan(x)$ является строго возрастающей на каждом интервале своей непрерывности, в том числе и на $(80,5\pi; 81\pi]$.
Поскольку последовательность $x_n$ убывает, а функция $\tan(x)$ на области значений $x_n$ возрастает, то результирующая последовательность $\tan(x_n)$ будет убывающей. Если $x_k > x_{k+1}$ и $f$ — возрастающая функция, то $f(x_k) > f(x_{k+1})$.

Ответ: При условии, что все члены последовательности $x_n$ отличны от $80,5\pi$ (то есть $\tan(x_n)$ определен для всех $n$), последовательность является убывающей.