Номер 26, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26. (3) В условии указан вид функции $f(x)$, множество ее значений и период. Найдите значения параметров $p, q, r$, если:

a) $f(x)=p\sin rx+q, E(f):[-10;0], T=4;$

б) $f(x)=(p+2)\sin((6-2r)x)+2q, E(f):[-6;8], T=\frac{\pi}{5}$.

а) Для функции общего вида $f(x) = A \sin(kx) + D$ множество значений $E(f)$ находится в пределах $[D - |A|, D + |A|]$, а период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае функция имеет вид $f(x) = p \sin(rx) + q$. Следовательно, амплитуда равна $|p|$, коэффициент при $x$ равен $r$, а вертикальный сдвиг равен $q$.

Дано множество значений $E(f) = [-10; 0]$ и период $T=4$.

1. Найдем $q$ и $p$ из множества значений.

Вертикальный сдвиг $q$ является центром отрезка $[-10; 0]$:

$q = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = \frac{0 + (-10)}{2} = -5$.

Амплитуда $|p|$ равна половине длины этого отрезка:

$|p| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{0 - (-10)}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Отсюда следует, что $p=5$ или $p=-5$.

2. Найдем $r$ из периода.

Период $T = \frac{2\pi}{|r|}$. Подставим известное значение $T=4$:

$4 = \frac{2\pi}{|r|}$

$|r| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Отсюда следует, что $r=\frac{\pi}{2}$ или $r=-\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, мы получили все возможные значения для параметров $p, q, r$.

Ответ: $q=-5$; $p \in \{5, -5\}$; $r \in \{\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\}$.

б) Функция имеет вид $f(x) = (p+2)\sin((6-2r)x) + 2q$.

В данном случае амплитуда $A = p+2$, коэффициент при $x$ $k = 6-2r$, а вертикальный сдвиг $D = 2q$.

Дано множество значений $E(f) = [-6; 8]$ и период $T = \frac{\pi}{5}$.

1. Найдем параметры, связанные с множеством значений.

Вертикальный сдвиг $D = 2q$ является центром отрезка $[-6; 8]$:

$D = \frac{8 + (-6)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Следовательно, $2q = 1 \implies q = \frac{1}{2}$.

Амплитуда $|A| = |p+2|$ равна половине длины этого отрезка:

$|A| = \frac{8 - (-6)}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Следовательно, $|p+2| = 7$. Решим это уравнение:

$p+2 = 7 \implies p=5$

или

$p+2 = -7 \implies p=-9$.

2. Найдем параметр $r$ из периода.

Период $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|6-2r|}$. Подставим известное значение $T=\frac{\pi}{5}$:

$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{|6-2r|}$

Разделив обе части на $\pi$, получим:

$\frac{1}{5} = \frac{2}{|6-2r|} \implies |6-2r| = 10$.

Решим это уравнение:

$6-2r = 10 \implies -2r = 4 \implies r=-2$

или

$6-2r = -10 \implies -2r = -16 \implies r=8$.

Мы получили одно значение для $q$, и по два возможных значения для $p$ и $r$.

Ответ: $q=\frac{1}{2}$; $p \in \{5, -9\}$; $r \in \{-2, 8\}$.