Номер 1, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (1)
Используя элементарные преобразования P1-P8 (глава 1, §6), постройте последовательно на одной координатной плоскости графики функций $f(x)=\arcsin x$, $g(x)=\arcsin\frac{1}{2}x$, $h(x)=3\arcsin\frac{1}{2}x$, $u(x)=3\arcsin\frac{1}{2}(x+4)$, $v(x)=3\arcsin\left(\frac{x}{2}+2\right)-\pi$. Для каждой из функций определите область определения и множество значений.

$f(x)=\arcsin x$. Это исходная функция. Ее график — это стандартная кривая арксинуса, симметричная относительно начала координат. Для построения графика отметим ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$ и $(1, \frac{\pi}{2})$. Область определения $D(f)$ находится из условия, что аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$. Множество значений $E(f)$ для основной ветви арксинуса по определению является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: Область определения $D(f) = [-1, 1]$, множество значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$g(x)=\arcsin\frac{1}{2}x$. График этой функции получается из графика $f(x)$ путем его растяжения от оси $Oy$ вдоль оси $Ox$ в 2 раза (горизонтальное растяжение). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $f(x)$ переходит в точку $(2x_0, y_0)$. Так, ключевые точки преобразуются: $(-1, -\frac{\pi}{2}) \rightarrow (-2, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (2, \frac{\pi}{2})$.Область определения $D(g)$ находится из условия $-1 \le \frac{1}{2}x \le 1$, что эквивалентно $-2 \le x \le 2$. Множество значений $E(g)$ не меняется при горизонтальном растяжении и остается таким же, как у $f(x)$.
Ответ: Область определения $D(g) = [-2, 2]$, множество значений $E(g) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$h(x)=3\arcsin\frac{1}{2}x$. График этой функции получается из графика $g(x)$ путем его растяжения от оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза (вертикальное растяжение). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $g(x)$ переходит в точку $(x_0, 3y_0)$. Ключевые точки: $(-2, -\frac{\pi}{2}) \rightarrow (-2, -\frac{3\pi}{2})$, $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (2, \frac{3\pi}{2})$.Область определения $D(h)$ совпадает с областью определения $g(x)$, так как вертикальное растяжение на нее не влияет. Множество значений $E(h)$ получается умножением каждой точки из множества значений $g(x)$ на 3: $[-\frac{\pi}{2} \cdot 3, \frac{\pi}{2} \cdot 3]$.
Ответ: Область определения $D(h) = [-2, 2]$, множество значений $E(h) = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

$u(x)=3\arcsin\frac{1}{2}(x+4)$. График этой функции получается из графика $h(x)$ путем его сдвига влево вдоль оси $Ox$ на 4 единицы (горизонтальный сдвиг). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $h(x)$ переходит в точку $(x_0-4, y_0)$. Ключевые точки: $(-2, -\frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-6, -\frac{3\pi}{2})$, $(0, 0) \rightarrow (-4, 0)$, $(2, \frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-2, \frac{3\pi}{2})$.Область определения $D(u)$ получается сдвигом области определения $h(x)$ на 4 влево: $[-2-4, 2-4]$. Множество значений $E(u)$ при горизонтальном сдвиге не изменяется.
Ответ: Область определения $D(u) = [-6, -2]$, множество значений $E(u) = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

$v(x)=3\arcsin(\frac{x}{2}+2)-\pi$. Преобразуем эту функцию: $v(x) = 3\arcsin(\frac{1}{2}(x+4)) - \pi = u(x) - \pi$. График этой функции получается из графика $u(x)$ путем его сдвига вниз вдоль оси $Oy$ на $\pi$ (вертикальный сдвиг). Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $u(x)$ переходит в точку $(x_0, y_0-\pi)$. Ключевые точки: $(-6, -\frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-6, -\frac{3\pi}{2}-\pi) = (-6, -\frac{5\pi}{2})$, $(-4, 0) \rightarrow (-4, -\pi)$, $(-2, \frac{3\pi}{2}) \rightarrow (-2, \frac{3\pi}{2}-\pi) = (-2, \frac{\pi}{2})$.Область определения $D(v)$ совпадает с областью определения $u(x)$. Множество значений $E(v)$ получается сдвигом множества значений $u(x)$ на $\pi$ вниз: $[-\frac{3\pi}{2}-\pi, \frac{3\pi}{2}-\pi]$.
Ответ: Область определения $D(v) = [-6, -2]$, множество значений $E(v) = [-\frac{5\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.