Номер 5, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (4) Упростите следующие выражения:

a) $ \arcsin(\sin(-1)), \arcsin\left(\sin\frac{7\pi}{8}\right), \arcsin(\sin3); $

б) $ \arcsin\left(\sin\frac{15\pi}{8}\right), \arcsin(\sin6). $

а)

Для выражения $\arcsin(\sin(-1))$: по определению, область значений функции арксинус есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что приблизительно равно $[-1.57, 1.57]$. Так как $-1$ принадлежит этому отрезку, то по свойству обратных функций $\arcsin(\sin(-1)) = -1$. Ответ: $-1$.

Для выражения $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{8}))$: угол $\frac{7\pi}{8}$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поскольку $\frac{7\pi}{8} > \frac{\pi}{2}$. Используем тригонометрическое тождество $\sin(x) = \sin(\pi - x)$ для нахождения эквивалентного угла в требуемом диапазоне. Имеем $\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\pi - \frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$. Угол $\frac{\pi}{8}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{8})) = \frac{\pi}{8}$. Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

Для выражения $\arcsin(\sin(3))$: угол $3$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$. Используем тождество $\sin(x) = \sin(\pi - x)$. Получаем $\sin(3) = \sin(\pi - 3)$. Значение $\pi - 3 \approx 3.14 - 3 = 0.14$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $\arcsin(\sin(3)) = \pi - 3$. Ответ: $\pi - 3$.

б)

Для выражения $\arcsin(\sin(\frac{15\pi}{8}))$: угол $\frac{15\pi}{8}$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Воспользуемся периодичностью функции синус, $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$. Вычтем из аргумента период $2\pi$: $\sin(\frac{15\pi}{8}) = \sin(\frac{15\pi}{8} - 2\pi) = \sin(\frac{15\pi - 16\pi}{8}) = \sin(-\frac{\pi}{8})$. Угол $-\frac{\pi}{8}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin(\sin(\frac{15\pi}{8})) = -\frac{\pi}{8}$. Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

Для выражения $\arcsin(\sin(6))$: угол $6$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$. Используем периодичность синуса. Учитывая, что $2\pi \approx 6.28$, вычтем из аргумента $2\pi$: $\sin(6) = \sin(6 - 2\pi)$. Значение $6 - 2\pi \approx 6 - 6.28 = -0.28$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin(\sin(6)) = 6 - 2\pi$. Ответ: $6 - 2\pi$.