Номер 11, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) Упростите следующие выражения:

а) $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}1)$, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}\frac{5}{7}\pi)$, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}2)$;

б) $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}\frac{15}{8}\pi)$, $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}6)$.

а)

Для упрощения выражений вида $arctg(tg(x))$ используется основное тождество для арктангенса. Значением выражения $arctg(tg(\alpha))$ является такое число $\beta$, что $tg(\beta) = tg(\alpha)$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$. Поскольку тангенс имеет период $\pi$, то $tg(\alpha) = tg(\alpha - k\pi)$ для любого целого $k$. Таким образом, задача сводится к нахождению такого целого числа $k$, чтобы величина $\beta = \alpha - k\pi$ попала в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Упростим $arctg(tg1)$:
Аргумент тангенса равен 1. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, тогда область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ примерно равна $(-1.57, 1.57)$.
Поскольку $1$ принадлежит этому интервалу, то $k=0$.
Следовательно, $arctg(tg1) = 1$.

Упростим $arctg(tg(\frac{5}{7}\pi))$:
Аргумент тангенса $\alpha = \frac{5}{7}\pi$. Так как $\frac{5}{7} > \frac{1}{2}$, то $\frac{5}{7}\pi > \frac{\pi}{2}$, и это значение не входит в область значений арктангенса.
Найдем подходящее $k$. Попробуем $k=1$:
$\beta = \frac{5}{7}\pi - 1 \cdot \pi = \frac{5\pi - 7\pi}{7} = -\frac{2}{7}\pi$.
Проверим, входит ли $-\frac{2}{7}\pi$ в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Неравенство $-\frac{1}{2} < -\frac{2}{7} < \frac{1}{2}$ верно.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{5}{7}\pi)) = -\frac{2}{7}\pi$.

Упростим $arctg(tg2)$:
Аргумент тангенса $\alpha = 2$. Так как $2 > \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, это значение не входит в область значений арктангенса.
Найдем подходящее $k$. Попробуем $k=1$:
$\beta = 2 - 1 \cdot \pi = 2 - \pi$.
Приблизительное значение $2 - \pi \approx 2 - 3.14159 = -1.14159$. Это значение входит в интервал $(-1.57, 1.57)$.
Следовательно, $arctg(tg2) = 2 - \pi$.

Ответ: $1$; $-\frac{2}{7}\pi$; $2 - \pi$.

б)

Используем тот же подход, что и в пункте а).

Упростим $arctg(tg(\frac{15}{8}\pi))$:
Аргумент тангенса $\alpha = \frac{15}{8}\pi$. Это значение не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Найдем целое $k$, решив неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \frac{15}{8}\pi - k\pi < \frac{\pi}{2}$.
Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} < \frac{15}{8} - k < \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{2} < 1.875 - k < \frac{1}{2}$.
$-0.5 - 1.875 < -k < 0.5 - 1.875$.
$-2.375 < -k < -1.375$.
Умножим на -1, изменив знаки неравенства: $1.375 < k < 2.375$.
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k=2$.
Тогда $\beta = \frac{15}{8}\pi - 2\pi = \frac{15\pi - 16\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{15}{8}\pi)) = -\frac{\pi}{8}$.

Упростим $arctg(tg6)$:
Аргумент тангенса $\alpha = 6$. Это значение не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Найдем целое $k$, решив неравенство: $-\frac{\pi}{2} < 6 - k\pi < \frac{\pi}{2}$.
$-\frac{\pi}{2} - 6 < -k\pi < \frac{\pi}{2} - 6$.
Разделим все части на $-\pi$ и изменим знаки неравенства: $\frac{-\frac{\pi}{2}-6}{-\pi} > k > \frac{\frac{\pi}{2}-6}{-\pi}$.
$\frac{6}{\pi} + \frac{1}{2} > k > \frac{6}{\pi} - \frac{1}{2}$.
Используя $\pi \approx 3.14$: $\frac{6}{3.14} + 0.5 > k > \frac{6}{3.14} - 0.5$.
$1.91 + 0.5 > k > 1.91 - 0.5$.
$2.41 > k > 1.41$.
Единственное целое $k$ в этом интервале — это $k=2$.
Тогда $\beta = 6 - 2\pi$.
Следовательно, $arctg(tg6) = 6 - 2\pi$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$; $6 - 2\pi$.