Номер 1, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2) Вычислите значения следующих выражений:

а) $\sin\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$, $\cos\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$, $\text{tg}\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$, $\text{ctg}\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$;

б) $\cos\left(\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$, $\sin\left(\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$, $\text{tg}\left(\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$, $\text{ctg}\left(\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$;

В) $\text{ctg}(\text{arcctg}5)$, $\sin(\text{arcctg}5)$, $\cos(\text{arcctg}5)$, $\text{tg}(\text{arcctg}5)$.

а)Для вычисления значений выражений, введем обозначение $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$.
По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Поскольку значение синуса $\frac{3}{5}$ положительно, угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти все тригонометрические функции (косинус, тангенс, котангенс) имеют положительные значения.
1. $\sin\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$: По определению арксинуса, $\sin(\arcsin x) = x$ для любого $x \in [-1, 1]$. Следовательно, $\sin\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5}$.
2. $\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos\alpha \ge 0$. Поэтому $\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
3. $\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$: Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
4. $\operatorname{ctg}\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$: Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{3}$.

б)Для вычисления значений выражений, введем обозначение $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.
По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$ и угол $\beta$ находится в диапазоне $[0, \pi]$.
Поскольку значение косинуса $-\frac{1}{3}$ отрицательно, угол $\beta$ принадлежит второй четверти, то есть $\beta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. В этой четверти синус положителен, а тангенс и котангенс отрицательны.
1. $\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$: По определению арккосинуса, $\cos(\arccos x) = x$ для любого $x \in [-1, 1]$. Следовательно, $\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.
2. $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.
$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Так как $\beta$ находится во второй четверти, $\sin\beta \ge 0$. Поэтому $\sin\beta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
3. $\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$: $\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{2\sqrt{2}/3}{-1/3} = -2\sqrt{2}$.
4. $\operatorname{ctg}\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$: $\operatorname{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{-1/3}{2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$, $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $-2\sqrt{2}$, $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

в)Для вычисления значений выражений, введем обозначение $\gamma = \operatorname{arcctg}5$.
По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg}(\gamma) = 5$ и угол $\gamma$ находится в диапазоне $(0, \pi)$.
Поскольку значение котангенса $5$ положительно, угол $\gamma$ принадлежит первой четверти, то есть $\gamma \in (0, \frac{\pi}{2})$. В этой четверти все тригонометрические функции имеют положительные значения.
1. $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}5)$: По определению арккотангенса, $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x) = x$. Следовательно, $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}5) = 5$.
2. $\sin(\operatorname{arcctg}5)$: Воспользуемся тождеством $1 + \operatorname{ctg}^2\gamma = \frac{1}{\sin^2\gamma}$.
$1 + 5^2 = \frac{1}{\sin^2\gamma} \implies 26 = \frac{1}{\sin^2\gamma} \implies \sin^2\gamma = \frac{1}{26}$.
Так как $\gamma$ в первой четверти, $\sin\gamma > 0$. Поэтому $\sin\gamma = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.
3. $\cos(\operatorname{arcctg}5)$: Воспользуемся тождеством $\operatorname{tg}^2\gamma + 1 = \frac{1}{\cos^2\gamma}$. Сначала найдем тангенс: $\operatorname{tg}\gamma = \frac{1}{\operatorname{ctg}\gamma} = \frac{1}{5}$.
$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2\gamma} \implies \frac{1}{25} + 1 = \frac{1}{\cos^2\gamma} \implies \frac{26}{25} = \frac{1}{\cos^2\gamma} \implies \cos^2\gamma = \frac{25}{26}$.
Так как $\gamma$ в первой четверти, $\cos\gamma > 0$. Поэтому $\cos\gamma = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$.
4. $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}5)$: Как мы уже нашли, $\operatorname{tg}\gamma = \frac{1}{\operatorname{ctg}\gamma} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $5$, $\frac{\sqrt{26}}{26}$, $\frac{5\sqrt{26}}{26}$, $\frac{1}{5}$.