Номер 6, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (4) Докажите равенство $\operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\pi}{4}$.

Для доказательства данного равенства преобразуем все его члены к одной обратной тригонометрической функции, в данном случае к арктангенсу.

Обозначим левую часть равенства как $S$. То есть, $S = \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Наша задача — доказать, что $S = \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим второе слагаемое: $2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$. Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Так как $\frac{1}{\sqrt{10}} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Найдем $\cos\alpha$ используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

Поскольку $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos\alpha > 0$. Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Теперь мы можем найти тангенс угла $\alpha$:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.

Это означает, что $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3}$.

Таким образом, мы преобразовали второе слагаемое: $2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{3}$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$S = \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\operatorname{arctg}\frac{1}{3}$.

Воспользуемся формулой для удвоенного арктангенса: $2\operatorname{arctg}x = \operatorname{arctg}\frac{2x}{1-x^2}$ (эта формула верна при $|x| < 1$).

Для $x = \frac{1}{3}$, условие $|\frac{1}{3}| < 1$ выполняется. Применяем формулу:

$2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} = \operatorname{arctg}\left(\frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}\right) = \operatorname{arctg}\frac{18}{24} = \operatorname{arctg}\frac{3}{4}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $S$:

$S = \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + \operatorname{arctg}\frac{3}{4}$.

Далее используем формулу сложения арктангенсов: $\operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}\frac{x+y}{1-xy}$ (эта формула верна при $xy < 1$).

Проверим условие: $x \cdot y = \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{28}$. Так как $\frac{3}{28} < 1$, формула применима.

$\operatorname{arctg}\frac{1}{7} + \operatorname{arctg}\frac{3}{4} = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{4+21}{28}}{1 - \frac{3}{28}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}\right) = \operatorname{arctg}(1)$.

Как известно, значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, мы показали, что $S = \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\pi}{4}$ доказано.