Номер 9, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (2) Вычислите значения следующих выражений:

a) $\cos\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$, $\sin\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$, $\text{tg}\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$, $\text{ctg}\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$;

б) $\sin\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$, $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$, $\text{tg}\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$, $\text{ctg}\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$;

в) $\text{tg}(\text{arctg}(-2))$, $\cos(\text{arctg}(-2))$, $\sin(\text{arctg}(-2))$, $\text{tg}(\text{arctg}(-2))$.

а)

Пусть $\alpha = arccos(\frac{5}{13})$. По определению арккосинуса, $cos(\alpha) = \frac{5}{13}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Так как значение косинуса положительно, то угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этом промежутке синус неотрицателен.
1. $cos(arccos(\frac{5}{13}))$. По определению обратной тригонометрической функции, $cos(arccos(x)) = x$. Следовательно, $cos(arccos(\frac{5}{13})) = \frac{5}{13}$.
2. $sin(arccos(\frac{5}{13}))$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, находим $sin(\alpha)$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
3. $tg(arccos(\frac{5}{13}))$. Находим тангенс как отношение синуса к косинусу: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.
4. $ctg(arccos(\frac{5}{13}))$. Находим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$, $\frac{12}{13}$, $\frac{12}{5}$, $\frac{5}{12}$.

б)

Пусть $\beta = arcsin(-\frac{2}{3})$. По определению арксинуса, $sin(\beta) = -\frac{2}{3}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как значение синуса отрицательно, то угол $\beta$ принадлежит четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} \le \beta < 0$. В этом промежутке косинус неотрицателен.
1. $sin(arcsin(-\frac{2}{3}))$. По определению арксинуса, $sin(arcsin(x)) = x$. Следовательно, $sin(arcsin(-\frac{2}{3})) = -\frac{2}{3}$.
2. $cos(arcsin(-\frac{2}{3}))$. Из тождества $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$ находим $cos(\beta)$. Так как $\beta$ в четвертой четверти, $cos(\beta) = \sqrt{1 - sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
3. $tg(arcsin(-\frac{2}{3})) = \frac{sin(\beta)}{cos(\beta)} = \frac{-2/3}{\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. $ctg(arcsin(-\frac{2}{3})) = \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)} = \frac{\sqrt{5}/3}{-2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$, $\frac{\sqrt{5}}{3}$, $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

в)

Пусть $\gamma = arctg(-2)$. По определению арктангенса, $tg(\gamma) = -2$ и угол $\gamma$ находится в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как значение тангенса отрицательно, то угол $\gamma$ принадлежит четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} < \gamma < 0$. В этом промежутке косинус положителен, а синус отрицателен.
1. $tg(arctg(-2))$. По определению арктангенса, $tg(arctg(x)) = x$. Следовательно, $tg(arctg(-2)) = -2$.
2. $cos(arctg(-2))$. Используем тождество $1 + tg^2(\gamma) = \frac{1}{cos^2(\gamma)}$. Отсюда $cos^2(\gamma) = \frac{1}{1+tg^2(\gamma)} = \frac{1}{1+(-2)^2} = \frac{1}{5}$. Так как $\gamma$ в четвертой четверти, $cos(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
3. $sin(arctg(-2))$. Найдем синус по формуле $sin(\gamma) = tg(\gamma) \cdot cos(\gamma) = -2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. $tg(arctg(-2))$. Это выражение идентично первому, поэтому его значение также равно $-2$.
Ответ: $-2$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$, $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $-2$.