Номер 15, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. (4)
Докажите равенство $arccos(|cos(2arctg(\sqrt{2}-1))|)=\frac{\pi}{4}$.

15. (4)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Начнем с вычисления внутреннего выражения $ \cos(2\arctg(\sqrt{2}-1)) $.

Пусть $ \alpha = \arctg(\sqrt{2}-1) $. По определению арктангенса, это означает, что $ \tg(\alpha) = \sqrt{2}-1 $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс угла половинной дуги:$ \cos(2\alpha) = \frac{1-\tg^2(\alpha)}{1+\tg^2(\alpha)} $.

Сначала найдем значение $ \tg^2(\alpha) $:$ \tg^2(\alpha) = (\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} $.

Теперь подставим это значение в формулу для $ \cos(2\alpha) $:$ \cos(2\alpha) = \frac{1-(3-2\sqrt{2})}{1+(3-2\sqrt{2})} = \frac{1-3+2\sqrt{2}}{1+3-2\sqrt{2}} = \frac{-2+2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} $.

Вынесем общий множитель 2 из числителя и знаменателя, чтобы упростить выражение:$ \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(2-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ (2+\sqrt{2}) $:$ \frac{(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-2-\sqrt{2}}{2^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, мы получили, что $ \cos(2\arctg(\sqrt{2}-1)) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь исходное выражение в левой части равенства принимает вид:$ \arccos\left(\cos(2\arctg(\sqrt{2}-1))\right) = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

По определению, $ \arccos(x) $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ x $. Угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, это $ \frac{\pi}{4} $.

Следовательно, $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Мы показали, что левая часть равенства равна $ \frac{\pi}{4} $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.