Номер 16, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (5) Упростите следующие выражения:

a)

$ \arcsin\left(\cos\frac{\pi}{7}\right)$, $ \arccos\left(\sin\left(-\frac{12\pi}{7}\right)\right)$, $ \arccos\left(\sin\left(\frac{15}{7}\pi\right)\right)$; $ \arcsin\left(\cos(-5)\right); $

б)

$ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{tg}\frac{3\pi}{5}\right)$, $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{27\pi}{8}\right)$, $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{tg}(-4)\right)$, $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}(-6)\right). $

a)

Для выражения $arcsin(cos(\frac{\pi}{7}))$ воспользуемся формулой приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$. Получаем $arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})) = arcsin(sin(\frac{5\pi}{14}))$. Область значений функции $arcsin(y)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как $\frac{5\pi}{14}$ принадлежит этому отрезку, то $arcsin(sin(\frac{5\pi}{14})) = \frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{14}$.

Для выражения $arccos(sin(-\frac{12\pi}{7}))$ сначала упростим аргумент. Используя нечетность синуса $sin(-x) = -sin(x)$, имеем $arccos(-sin(\frac{12\pi}{7}))$. Далее, $sin(\frac{12\pi}{7}) = sin(2\pi - \frac{2\pi}{7}) = -sin(\frac{2\pi}{7})$. Таким образом, выражение преобразуется к $arccos(-(-sin(\frac{2\pi}{7}))) = arccos(sin(\frac{2\pi}{7}))$. Применим формулу $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$: $arccos(cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{3\pi}{14}))$. Область значений функции $arccos(y)$ — это отрезок $[0, \pi]$. Так как $\frac{3\pi}{14}$ принадлежит этому отрезку, то $arccos(cos(\frac{3\pi}{14})) = \frac{3\pi}{14}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{14}$.

Для выражения $arccos(sin(\frac{15\pi}{7}))$ используем периодичность синуса: $sin(\frac{15\pi}{7}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = sin(\frac{\pi}{7})$. Получаем $arccos(sin(\frac{\pi}{7}))$. По формуле приведения $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$ имеем $arccos(cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{5\pi}{14}))$. Так как $0 \le \frac{5\pi}{14} \le \pi$, то итоговое значение равно $\frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{14}$.

Для выражения $arcsin(cos(-5))$ используем четность косинуса $cos(-5) = cos(5)$, получая $arcsin(cos(5))$. Воспользуемся тождеством $arcsin(y) + arccos(y) = \frac{\pi}{2}$, откуда $arcsin(cos(5)) = \frac{\pi}{2} - arccos(cos(5))$. Найдем $arccos(cos(5))$. Область значений арккосинуса $[0, \pi]$. Число 5 не принадлежит этому отрезку. Используем свойство $cos(x) = cos(2\pi - x)$. Аргумент $2\pi - 5$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $ \pi \approx 3.14 $ и $2\pi \approx 6.28$. Следовательно, $arccos(cos(5)) = 2\pi - 5$. Подставляя это значение, получаем: $\frac{\pi}{2} - (2\pi - 5) = \frac{\pi}{2} - 2\pi + 5 = 5 - \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $5 - \frac{3\pi}{2}$.

б)

Для выражения $arcctg(tg(\frac{3\pi}{5}))$ применим формулу $tg(x) = ctg(\frac{\pi}{2} - x)$: $arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5})) = arcctg(ctg(-\frac{\pi}{10}))$. Область значений арккотангенса $(0, \pi)$. Аргумент $-\frac{\pi}{10}$ не входит в этот промежуток. Используем периодичность котангенса $ctg(x+\pi)=ctg(x)$: $ctg(-\frac{\pi}{10}) = ctg(-\frac{\pi}{10}+\pi) = ctg(\frac{9\pi}{10})$. Теперь $arcctg(ctg(\frac{9\pi}{10})) = \frac{9\pi}{10}$, так как $\frac{9\pi}{10} \in (0, \pi)$.
Ответ: $\frac{9\pi}{10}$.

Для выражения $arctg(ctg(\frac{27\pi}{8}))$ упростим аргумент котангенса, используя его периодичность с периодом $\pi$: $ctg(\frac{27\pi}{8}) = ctg(3\pi + \frac{3\pi}{8}) = ctg(\frac{3\pi}{8})$. Получаем $arctg(ctg(\frac{3\pi}{8}))$. По формуле $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$ имеем $arctg(tg(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8})) = arctg(tg(\frac{\pi}{8}))$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как $\frac{\pi}{8}$ принадлежит этому интервалу, то $arctg(tg(\frac{\pi}{8})) = \frac{\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

Для выражения $arcctg(tg(-4))$ воспользуемся тождеством $arcctg(y) + arctg(y) = \frac{\pi}{2}$: $arcctg(tg(-4)) = \frac{\pi}{2} - arctg(tg(-4))$. Найдем $arctg(tg(-4))$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Аргумент $-4$ не принадлежит этому интервалу. Используя периодичность тангенса $tg(x+k\pi) = tg(x)$, найдем такое целое $k$, чтобы $-4+k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это условие выполняется при $k=1$. Тогда $arctg(tg(-4)) = arctg(tg(-4+\pi)) = \pi-4$. Подставляем обратно: $\frac{\pi}{2} - (\pi-4) = 4 - \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $4 - \frac{\pi}{2}$.

Для выражения $arctg(ctg(-6))$ используем формулу $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$: $arctg(ctg(-6)) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - (-6))) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} + 6))$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Аргумент $\frac{\pi}{2}+6$ не входит в этот интервал. Используя периодичность тангенса $tg(x+k\pi)=tg(x)$, найдем такое целое $k$, чтобы $\frac{\pi}{2}+6+k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Решая неравенство, получаем $k=-2$. Таким образом, искомый угол равен $\frac{\pi}{2} + 6 - 2\pi = 6 - \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $6 - \frac{3\pi}{2}$.