Номер 5, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (4) Решите неравенства:

а) $3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 \le 0$;

б) $3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 > 0$.

1. Решение квадратного уравнения

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение относительно $t$: $$3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (5\pi)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2\pi^2) = 25\pi^2 + 24\pi^2 = 49\pi^2$$ Находим корни: $$t_1 = \frac{-5\pi - 7\pi}{6} = -2\pi$$ $$t_2 = \frac{-5\pi + 7\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$ Квадратный трехчлен разлагается на множители: $3(t + 2\pi)(t - \pi/3)$.

Ответ: Корни вспомогательного уравнения: $-2\pi$ и $\pi/3$.

2. Решение пункта а) $3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2 \le 0$

Неравенство $3(t + 2\pi)(t - \pi/3) \le 0$ выполняется при $t \in [-2\pi; \pi/3]$. Учитывая ограничение $t = \arcsin x \in [-\pi/2; \pi/2]$, находим пересечение интервалов: $[-\pi/2; \pi/2] \cap [-2\pi; \pi/3] = [-\pi/2; \pi/3]$. Переходим обратно к переменной $x$: $-\pi/2 \le \arcsin x \le \pi/3$. Так как функция $\sin(t)$ возрастает на этом промежутке, получаем: $\sin(-\pi/2) \le x \le \sin(\pi/3) \implies -1 \le x \le \sqrt{3}/2$.

Ответ: $x \in [-1; \sqrt{3}/2]$.

3. Решение пункта б) $3t^2 + 5\pi t - 2\pi^2 > 0$

Неравенство $3(t + 2\pi)(t - \pi/3) > 0$ выполняется при $t \in (-\infty; -2\pi) \cup (\pi/3; +\infty)$. Учитывая ограничение $t = \arcsin x \in [-\pi/2; \pi/2]$, находим пересечение интервалов: Левая часть $(-\infty; -2\pi)$ не имеет общих точек с $[-\pi/2; \pi/2]$. Для правой части: $(\pi/3; +\infty) \cap [-\pi/2; \pi/2] = (\pi/3; \pi/2]$. Переходим обратно к переменной $x$: $\pi/3 < \arcsin x \le \pi/2$. Следовательно: $\sin(\pi/3) < x \le \sin(\pi/2) \implies \sqrt{3}/2 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (\sqrt{3}/2; 1]$.