Номер 12, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) Решите уравнения:

а) $9\arccos^2 x = 9\pi \arccos x - 2\pi^2$;

б) $9\arcsin^2 x = 9\pi \arcsin x - 2\pi^2$.

а) $9\arccos^2 x = 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$9\arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 = 0$

Для решения введем замену переменной. Пусть $y = \arccos x$. Учитывая область значений функции арккосинус, должно выполняться условие $y \in [0, \pi]$. После замены уравнение принимает вид:

$9y^2 - 9\pi y + 2\pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2\pi^2) = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9\pi - 3\pi}{18} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9\pi + 3\pi}{18} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$

Проверим, принадлежат ли найденные значения $y$ области значений арккосинуса $[0, \pi]$.

Для $y_1 = \frac{\pi}{3}$: $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$. Это верное неравенство.

Для $y_2 = \frac{2\pi}{3}$: $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$. Это также верное неравенство.

Оба корня подходят. Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1) $\arccos x = y_1 = \frac{\pi}{3} \implies x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

2) $\arccos x = y_2 = \frac{2\pi}{3} \implies x = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = \frac{1}{2}$.

б) $9\arcsin^2 x = 9\pi \arcsin x - 2\pi^2$

Аналогично предыдущему пункту, перенесем все члены в левую часть:

$9\arcsin^2 x - 9\pi \arcsin x + 2\pi^2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = \arcsin x$. Область значений функции арксинус: $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Уравнение примет вид:

$9z^2 - 9\pi z + 2\pi^2 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте а), поэтому его корни:

$z_1 = \frac{\pi}{3}$ и $z_2 = \frac{2\pi}{3}$

Теперь необходимо проверить, входят ли эти значения в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

1) Проверка для $z_1 = \frac{\pi}{3}$: неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$ является верным (так как $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} \le \frac{1}{2}$). Следовательно, этот корень подходит.

2) Проверка для $z_2 = \frac{2\pi}{3}$: неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$ является неверным, поскольку $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$). Этот корень является посторонним и не ведет к решению.

Таким образом, у нас остается только один подходящий корень $z = \frac{\pi}{3}$. Выполним обратную замену:

$\arcsin x = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.