Номер 9, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. Решите уравнения:

a) (1) $4\arccos x - 3\pi = 0;$

б) (1) $-6\arcsin 7x - \pi = 0;$

в) (1) $4\operatorname{arctg} \frac{x}{2} + \pi = 0;$

г) (1) $4\operatorname{arctg} \frac{x}{2} + 3\pi = 0.$

а) Дано уравнение $4\arccos x - 3\pi = 0$. Для его решения необходимо сначала выразить $\arccos x$.
Переносим $-3\pi$ в правую часть уравнения:
$4\arccos x = 3\pi$
Делим обе части уравнения на 4:
$\arccos x = \frac{3\pi}{4}$
Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Проверим, принадлежит ли значение $\frac{3\pi}{4}$ этому отрезку. Так как $0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$, значение принадлежит области значений, следовательно, уравнение имеет решение.
По определению арккосинуса, если $\arccos x = a$, то $x = \cos a$. Применяем это правило:
$x = \cos(\frac{3\pi}{4})$
Вычисляем значение косинуса:
$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Данное значение $x$ удовлетворяет области определения функции $\arccos x$, которая является отрезком $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Дано уравнение $-6\arcsin 7x - \pi = 0$. Выразим $\arcsin 7x$.
Переносим $-\pi$ в правую часть:
$-6\arcsin 7x = \pi$
Делим обе части на -6:
$\arcsin 7x = -\frac{\pi}{6}$
Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$. Следовательно, уравнение имеет решение.
По определению арксинуса, если $\arcsin y = a$, то $y = \sin a$. В нашем случае $y = 7x$:
$7x = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Вычисляем значение синуса:
$7x = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Находим $x$:
$x = -\frac{1}{14}$
Аргумент арксинуса $7x = -\frac{1}{2}$ принадлежит области определения $[-1, 1]$.
Ответ: $x = -\frac{1}{14}$.

в) Дано уравнение $4\arctan \frac{x}{2} + \pi = 0$. Выразим $\arctan \frac{x}{2}$.
Переносим $\pi$ в правую часть:
$4\arctan \frac{x}{2} = -\pi$
Делим обе части на 4:
$\arctan \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4}$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, уравнение имеет решение.
По определению арктангенса, если $\arctan y = a$, то $y = \tan a$. В нашем случае $y = \frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \tan(-\frac{\pi}{4})$
Вычисляем значение тангенса:
$\frac{x}{2} = -1$
Находим $x$:
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

г) Дано уравнение $4\arctan \frac{x}{2} + 3\pi = 0$. Выразим $\arctan \frac{x}{2}$.
Переносим $3\pi$ в правую часть:
$4\arctan \frac{x}{2} = -3\pi$
Делим обе части на 4:
$\arctan \frac{x}{2} = -\frac{3\pi}{4}$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Сравним полученное значение $-\frac{3\pi}{4}$ с границами этого интервала.
Так как $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$, а $-\frac{\pi}{2} \approx -1.571$, то $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$.
Это означает, что значение $-\frac{3\pi}{4}$ не входит в область значений функции арктангенс. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.