Номер 11, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. а) (1) Решите уравнение $\arcsin(2,5x^2 - 4x + 0,5) = \frac{\pi}{6}$;

б) (2) Решите неравенство $\arcsin(2,5x^2 - 4x + 0,5) \leq \frac{\pi}{6}$;

в) (3) Решите неравенство $\arcsin(2,5x^2 - 4x + 0,5) \geq \frac{\pi}{6}$.

а) (1)

Дано уравнение $arcsin(2.5x^2 - 4x + 0.5) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, это уравнение равносильно тому, что аргумент арксинуса равен синусу значения, которому он равен:

$2.5x^2 - 4x + 0.5 = \sin(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $0.5$. Подставляем это значение в уравнение:

$2.5x^2 - 4x + 0.5 = 0.5$

Вычитаем $0.5$ из обеих частей уравнения:

$2.5x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2.5x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $x_1 = 0$

2) $2.5x - 4 = 0 \implies 2.5x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{2.5} = \frac{4}{5/2} = \frac{8}{5} = 1.6$

Аргумент функции арксинус в данном случае равен $0.5$, что находится в пределах области определения функции $arcsin(y)$, которая равна $[-1, 1]$. Следовательно, найденные значения $x$ являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $0; 1.6$.

б) (2)

Решим неравенство $arcsin(2.5x^2 - 4x + 0.5) \le \frac{\pi}{6}$.

Функция $y = \arcsin(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения $t \in [-1, 1]$. Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств, учитывающей область определения:

$-1 \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le \sin(\frac{\pi}{6})$

Подставим известное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$:

$-1 \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 0.5$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

1) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \ge -1$

2) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 0.5$

Решим первое неравенство:

$2.5x^2 - 4x + 1.5 \ge 0$

Умножим обе части на 2 для удобства: $5x^2 - 8x + 3 \ge 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $5x^2 - 8x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.

Корни: $x_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0.6$ и $x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Парабола $y = 5x^2 - 8x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $5x^2 - 8x + 3 \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty, 0.6] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$2.5x^2 - 4x \le 0$

Найдём корни уравнения $x(2.5x - 4) = 0$. Корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 1.6$.

Парабола $y = 2.5x^2 - 4x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2.5x^2 - 4x \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [0, 1.6]$.

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, 0.6] \cup [1, \infty)) \cap [0, 1.6]$.

Графически это можно представить как пересечение двух множеств на числовой прямой, что даёт нам объединение двух интервалов: $[0, 0.6] \cup [1, 1.6]$.

Ответ: $[0; 0.6] \cup [1; 1.6]$.

в) (3)

Решим неравенство $arcsin(2.5x^2 - 4x + 0.5) \ge \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y = \arcsin(t)$ монотонно возрастает, данное неравенство с учётом области определения $t \in [-1, 1]$ равносильно системе:

$\sin(\frac{\pi}{6}) \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 1$

Подставим значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$:

$0.5 \le 2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 1$

Разобьём это на систему из двух неравенств:

1) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \ge 0.5$

2) $2.5x^2 - 4x + 0.5 \le 1$

Решим первое неравенство:

$2.5x^2 - 4x \ge 0$

Корни уравнения $2.5x^2 - 4x = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1.6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1.6, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$2.5x^2 - 4x - 0.5 \le 0$

Умножим на 2: $5x^2 - 8x - 1 \le 0$.

Найдём корни уравнения $5x^2 - 8x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 64 + 20 = 84$.

Корни: $x_3 = \frac{8 - \sqrt{84}}{10} = \frac{8 - 2\sqrt{21}}{10} = \frac{4 - \sqrt{21}}{5}$ и $x_4 = \frac{8 + \sqrt{84}}{10} = \frac{4 + \sqrt{21}}{5}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, 0] \cup [1.6, \infty)) \cap [\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.

Для определения интервалов сравним значения. $4 < \sqrt{21} < 5$, поэтому $\frac{4 - \sqrt{21}}{5}$ это отрицательное число (примерно $-0.12$), а $\frac{4 + \sqrt{21}}{5}$ больше $1.6$ (примерно $1.72$).

Пересечение даёт два интервала:

1. $(-\infty, 0]$ с $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$ даёт $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, 0]$.

2. $[1.6, \infty)$ с $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$ даёт $[1.6, \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $[\frac{4 - \sqrt{21}}{5}; 0] \cup [1.6; \frac{4 + \sqrt{21}}{5}]$.