Номер 8, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. Решите неравенства:

а) (4) $18 \text{arctg}^2 x - 3\pi \text{arctg} x < \pi^2$;

б) (5) $18 \text{arctg}^2 x - 3\pi \text{arctg} x \ge \pi^2$

a) $18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x < \pi^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x - \pi^2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arcctg} x$. Из определения арккотангенса следует, что его область значений — это интервал $(0, \pi)$, поэтому для переменной $t$ должно выполняться условие $0 < t < \pi$.

После замены получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$18t^2 - 3\pi t - \pi^2 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$

Корни уравнения:

$t_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi - \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi - 9\pi}{36} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$

$t_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi + \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi + 9\pi}{36} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$

Так как ветви параболы $y = 18t^2 - 3\pi t - \pi^2$ направлены вверх, неравенство $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{3}$

Теперь учтем ограничение на $t$: $0 < t < \pi$. Объединив эти два условия в систему, получим:

$\begin{cases} -\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{3} \\ 0 < t < \pi \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < t < \frac{\pi}{3}$.

Выполним обратную замену $t = \operatorname{arcctg} x$:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{3}$

Неравенство $\operatorname{arcctg} x > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $(0, \pi)$ — область значений арккотангенса. Поэтому нам нужно решить только неравенство $\operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{3}$.

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ является строго убывающей. Применяя к обеим частям неравенства функцию $\cot(\cdot)$, которая также является убывающей на интервале $(0, \pi)$, мы должны поменять знак неравенства на противоположный:

$\cot(\operatorname{arcctg} x) > \cot(\frac{\pi}{3})$

$x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

б) $18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x \ge \pi^2$

Это неравенство отличается от предыдущего только знаком. Перепишем его в виде:

$18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x - \pi^2 \ge 0$

Воспользуемся заменой $t = \operatorname{arcctg} x$ с условием $0 < t < \pi$ и результатами из пункта а). Корни квадратного трехчлена $18t^2 - 3\pi t - \pi^2$ равны $t_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \le -\frac{\pi}{6}$ или $t \ge \frac{\pi}{3}$

Учтем ограничение $0 < t < \pi$:

1. Система $\begin{cases} t \le -\frac{\pi}{6} \\ 0 < t < \pi \end{cases}$ не имеет решений.

2. Система $\begin{cases} t \ge \frac{\pi}{3} \\ 0 < t < \pi \end{cases}$ имеет решение $\frac{\pi}{3} \le t < \pi$.

Таким образом, решением для $t$ является промежуток $\frac{\pi}{3} \le t < \pi$.

Выполним обратную замену:

$\frac{\pi}{3} \le \operatorname{arcctg} x < \pi$

Неравенство $\operatorname{arcctg} x < \pi$ выполняется для любого действительного $x$. Остается решить неравенство $\operatorname{arcctg} x \ge \frac{\pi}{3}$.

Так как функция $y = \operatorname{arcctg} x$ убывающая, при применении котангенса к обеим частям знак неравенства меняется на противоположный:

$\cot(\operatorname{arcctg} x) \le \cot(\frac{\pi}{3})$

$x \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{\sqrt{3}}{3}]$.