Номер 7, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. Решите уравнения;

а)(2) $18\text{arctg}^2x - 8\pi\text{arctg}x = \pi^2$;

б)(3) $18\text{arctg}^2x - 8\pi\text{arctg}x = \pi^2$.

а) $18\operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x - \pi^2 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\operatorname{arctg} x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \operatorname{arctg} x$.
Область значений функции арктангенс: $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
После замены уравнение принимает вид:
$18y^2 - 3\pi y - \pi^2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$, используя формулу для корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81\pi^2} = 9\pi$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Корень $y_1 = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Корень $y_2 = -\frac{\pi}{6}$ также удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$.
Оба корня подходят. Сделаем обратную замену, чтобы найти $x$.
1) Если $\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{3}$, то $x = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
2) Если $\operatorname{arctg} x = -\frac{\pi}{6}$, то $x = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) $18\operatorname{arcctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arcctg} x - \pi^2 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\operatorname{arcctg} x$. Сделаем замену переменной: пусть $z = \operatorname{arcctg} x$.
Область значений функции арккотангенс: $z \in (0; \pi)$.
После замены уравнение принимает вид:
$18z^2 - 3\pi z - \pi^2 = 0$
Это квадратное уравнение идентично уравнению из пункта а), поэтому его корни:
$z_1 = \frac{\pi}{3}$ и $z_2 = -\frac{\pi}{6}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $z$ условию $z \in (0; \pi)$.
Корень $z_1 = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию, так как $0 < \frac{\pi}{3} < \pi$.
Корень $z_2 = -\frac{\pi}{6}$ не удовлетворяет условию, так как он отрицательный, а значения арккотангенса должны быть положительными. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, у нас есть только одно подходящее решение для $z$. Сделаем обратную замену.
$\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{3} \implies x = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.