Номер 10, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. Решите неравенства:

а) (2) $4\arccos x-3\pi<0$, $4\arccos x-3\pi>0;

б) (2) $-6\arcsin 7x-\pi\ge0$, $-6\arcsin 7x-\pi\le0;

в) (2) $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+\pi<0$, $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+\pi>0;

г) (3) $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+3\pi\le0$, $4\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+3\pi>0.

а)

Для неравенства $4\arccos x - 3\pi < 0$:

Область допустимых значений (ОДЗ) для $\arccos x$ — это $x \in [-1, 1]$. Область значений функции — $[0, \pi]$.

Преобразуем неравенство: $4\arccos x < 3\pi \implies \arccos x < \frac{3\pi}{4}$.

С учетом области значений получаем двойное неравенство: $0 \le \arccos x < \frac{3\pi}{4}$.

Функция $y=\cos t$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$, поэтому при применении ее к неравенству знаки меняются на противоположные:

$\cos(0) \ge \cos(\arccos x) > \cos(\frac{3\pi}{4})$

Отсюда получаем $1 \ge x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Данное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Для неравенства $4\arccos x - 3\pi > 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arccos x > 3\pi \implies \arccos x > \frac{3\pi}{4}$.

С учетом области значений $[0, \pi]$ получаем $\frac{3\pi}{4} < \arccos x \le \pi$.

Применяем убывающую функцию $y=\cos t$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) > \cos(\arccos x) \ge \cos(\pi)$

Отсюда получаем $-\frac{\sqrt{2}}{2} > x \ge -1$. Данное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

б)

Для неравенства $-6\arcsin(7x) - \pi \ge 0$:

ОДЗ для $\arcsin(7x)$ определяется условием $-1 \le 7x \le 1$, то есть $x \in [-\frac{1}{7}, \frac{1}{7}]$. Область значений функции: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Преобразуем неравенство: $-6\arcsin(7x) \ge \pi \implies \arcsin(7x) \le -\frac{\pi}{6}$ (знак неравенства изменился при делении на отрицательное число).

С учетом области значений получаем двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(7x) \le -\frac{\pi}{6}$.

Функция $y=\sin t$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому знаки неравенства сохраняются:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) \le \sin(\arcsin(7x)) \le \sin(-\frac{\pi}{6})$

Получаем $-1 \le 7x \le -\frac{1}{2}$, откуда $-\frac{1}{7} \le x \le -\frac{1}{14}$. Решение входит в ОДЗ.

Ответ: $[-\frac{1}{7}, -\frac{1}{14}]$.

Для неравенства $-6\arcsin(7x) - \pi \le 0$:

Преобразуем неравенство: $-6\arcsin(7x) \le \pi \implies \arcsin(7x) \ge -\frac{\pi}{6}$.

С учетом области значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ получаем $-\frac{\pi}{6} \le \arcsin(7x) \le \frac{\pi}{2}$.

Применяем возрастающую функцию $y=\sin t$:

$\sin(-\frac{\pi}{6}) \le \sin(\arcsin(7x)) \le \sin(\frac{\pi}{2})$

Получаем $-\frac{1}{2} \le 7x \le 1$, откуда $-\frac{1}{14} \le x \le \frac{1}{7}$. Решение входит в ОДЗ.

Ответ: $[-\frac{1}{14}, \frac{1}{7}]$.

в)

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + \pi < 0$:

ОДЗ: $x \in (-\infty, \infty)$. Область значений функции $\arctan$ — это $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) < -\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) < -\frac{\pi}{4}$.

С учетом области значений получаем $-\frac{\pi}{2} < \arctan(\frac{x}{2}) < -\frac{\pi}{4}$.

Функция $y=\tan t$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Применяем ее к неравенству:

$\tan(-\frac{\pi}{2}) < \tan(\arctan(\frac{x}{2})) < \tan(-\frac{\pi}{4})$

Учитывая, что $\lim_{t \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan t = -\infty$, получаем $-\infty < \frac{x}{2} < -1$, откуда $x < -2$.

Ответ: $(-\infty, -2)$.

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + \pi > 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) > -\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) > -\frac{\pi}{4}$.

С учетом области значений $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ получаем $-\frac{\pi}{4} < \arctan(\frac{x}{2}) < \frac{\pi}{2}$.

Применяем возрастающую функцию $y=\tan t$:

$\tan(-\frac{\pi}{4}) < \tan(\arctan(\frac{x}{2})) < \tan(\frac{\pi}{2})$

Учитывая, что $\lim_{t \to \frac{\pi}{2}^-} \tan t = +\infty$, получаем $-1 < \frac{x}{2} < \infty$, откуда $x > -2$.

Ответ: $(-2, \infty)$.

г)

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + 3\pi \le 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) \le -3\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) \le -\frac{3\pi}{4}$.

Область значений функции $\arctan$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Так как $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$, а любое значение $\arctan(\frac{x}{2})$ строго больше $-\frac{\pi}{2}$, то условие $\arctan(\frac{x}{2}) \le -\frac{3\pi}{4}$ никогда не выполняется.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Для неравенства $4\arctan(\frac{x}{2}) + 3\pi > 0$:

Преобразуем неравенство: $4\arctan(\frac{x}{2}) > -3\pi \implies \arctan(\frac{x}{2}) > -\frac{3\pi}{4}$.

Так как область значений $\arctan(\frac{x}{2})$ — это $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и для любого значения $y$ из этого интервала выполняется $y > -\frac{\pi}{2}$, а $-\frac{\pi}{2} > -\frac{3\pi}{4}$, то неравенство $\arctan(\frac{x}{2}) > -\frac{3\pi}{4}$ верно всегда.

Поскольку ОДЗ для $x$ — все действительные числа, неравенство справедливо для любого $x$.

Ответ: $(-\infty, \infty)$.