Номер 13, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (4) Решите неравенства:

а) $9 \arccos^2 x < 9\pi \arccos x - 2\pi^2$;

б) $9 \arccos^2 x > 9\pi \arccos x - 2\pi^2$.

а) $9\arccos^2 x < 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9\arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 < 0$

Это квадратное неравенство относительно $\arccos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arccos x$. При этом необходимо учесть область значений арккосинуса: $0 \le t \le \pi$.

Получаем неравенство: $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 = 0$.

Дискриминант $D = (-9\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2\pi^2) = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{9\pi - \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 9} = \frac{9\pi - 3\pi}{18} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$.

$t_2 = \frac{9\pi + \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 9} = \frac{9\pi + 3\pi}{18} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$.

Поскольку ветви параболы $y = 9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2$ направлены вверх, неравенство $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[0, \pi]$, так что это решение для $t$ допустимо.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\frac{\pi}{3} < \arccos x < \frac{2\pi}{3}$.

Функция $y=\cos(x)$ является убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим ее ко всем частям двойного неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\cos(\frac{\pi}{3}) > \cos(\arccos x) > \cos(\frac{2\pi}{3})$.

$\frac{1}{2} > x > -\frac{1}{2}$.

Запишем в стандартном виде:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

Этот интервал полностью входит в область определения арккосинуса $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

б) $9\arccos^2 x > 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9\arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 > 0$.

Сделаем замену $t = \arccos x$, где $0 \le t \le \pi$.

Получаем неравенство: $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 > 0$.

Корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 = 0$ были найдены в пункте а): $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t < \frac{\pi}{3}$ или $t > \frac{2\pi}{3}$.

Учитывая область значений $t \in [0, \pi]$, получаем совокупность двух систем неравенств:

1) $0 \le t < \frac{\pi}{3}$

2) $\frac{2\pi}{3} < t \le \pi$

Возвращаемся к исходной переменной $x$.

1) $0 \le \arccos x < \frac{\pi}{3}$.

Применяем убывающую функцию $\cos$ ко всем частям, меняя знаки неравенства:

$\cos(0) \ge \cos(\arccos x) > \cos(\frac{\pi}{3})$.

$1 \ge x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, 1]$.

2) $\frac{2\pi}{3} < \arccos x \le \pi$.

Применяем убывающую функцию $\cos$ ко всем частям, меняя знаки неравенства:

$\cos(\frac{2\pi}{3}) > \cos(\arccos x) \ge \cos(\pi)$.

$-\frac{1}{2} > x \ge -1$, то есть $x \in [-1, -\frac{1}{2})$.

Объединяем решения из обоих случаев:

$x \in [-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in [-1; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1]$.