Номер 15, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. Решите уравнения:

a)

(2) $4\operatorname{arctg}^2x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arctg}x$

б)

(3) $4\operatorname{arctg}^2x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arctg}x$

а)

Дано уравнение: $4\operatorname{arcctg}^2 x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arcctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\operatorname{arcctg} x$:
$4\operatorname{arcctg}^2 x - 5\pi \operatorname{arcctg} x + \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \operatorname{arcctg} x$. Уравнение примет вид:
$4y^2 - 5\pi y + \pi^2 = 0$.
Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $y$, используя формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-5\pi)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \pi^2 = 25\pi^2 - 16\pi^2 = 9\pi^2$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-5\pi) + \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi + 3\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} = \pi$.
$y_2 = \frac{-(-5\pi) - \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi - 3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Теперь выполним обратную замену и проверим полученные корни. Область значений функции арккотангенс - это интервал $(0, \pi)$.
1. $\operatorname{arcctg} x = y_1 = \pi$.
Это уравнение не имеет решений, так как значение $\pi$ не входит в область значений функции $\operatorname{arcctg} x$.
2. $\operatorname{arcctg} x = y_2 = \frac{\pi}{4}$.
Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, поэтому это допустимый корень. Найдем $x$:
$x = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x=1$.

б)

Дано уравнение: $4\operatorname{arctg}^2 x + \pi^2 = 5\pi \operatorname{arctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$4\operatorname{arctg}^2 x - 5\pi \operatorname{arctg} x + \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $z = \operatorname{arctg} x$. Уравнение примет вид:
$4z^2 - 5\pi z + \pi^2 = 0$.
Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте а). Его корни:
$z_1 = \pi$ и $z_2 = \frac{\pi}{4}$.
Выполним обратную замену. Область значений функции арктангенс - это интервал $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
1. $\operatorname{arctg} x = z_1 = \pi$.
Это уравнение не имеет решений, так как значение $\pi$ не входит в область значений функции $\operatorname{arctg} x$ (поскольку $\pi > \frac{\pi}{2}$).
2. $\operatorname{arctg} x = z_2 = \frac{\pi}{4}$.
Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, поэтому это допустимый корень. Найдем $x$:
$x = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.
Ответ: $x=1$.