Номер 14, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. a) (3) Решите уравнение $arctg(-x^2 + 5x - 4) = \frac{\pi}{2}$;

б) (4) Решите неравенство $arctg(-x^2 + 5x - 4) \geq \frac{\pi}{2}$;

в) (5) Решите неравенство $arctg(-x^2 + 5x - 4) \leq \frac{\pi}{2}$.

a) Решим уравнение $arcctg(-x^2+5x-4)=\frac{\pi}{2}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $a = ctg(b)$. Область значений функции $y=arcctg(x)$ является интервал $(0; \pi)$, и значение $\frac{\pi}{2}$ входит в этот интервал.

Применим котангенс к обеим частям уравнения:

$-x^2+5x-4 = ctg(\frac{\pi}{2})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем квадратное уравнение:

$-x^2+5x-4 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2-5x+4 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Можно также найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$

Область определения функции $arcctg(t)$ — все действительные числа, поэтому выражение $-x^2+5x-4$ может принимать любые значения. Дополнительных ограничений нет.

Ответ: $x=1, x=4$.

б) Решим неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \ge \frac{\pi}{2}$.

Функция $y=arcctg(t)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 < t_2$, то $arcctg(t_1) > arcctg(t_2)$.

Следовательно, при переходе от неравенства для арккотангенсов к неравенству для их аргументов, знак неравенства меняется на противоположный.

Исходное неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \ge \frac{\pi}{2}$ равносильно следующему:

$-x^2+5x-4 \le ctg(\frac{\pi}{2})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$-x^2+5x-4 \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2-5x+4 \ge 0$

Корни квадратного трехчлена $x^2-5x+4$ мы нашли в пункте а): $x_1=1$ и $x_2=4$. Графиком функции $y=x^2-5x+4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 4$.

Также учтем, что область значений функции $arcctg(t)$ есть $(0, \pi)$, поэтому неравенство $arcctg(...) \ge \frac{\pi}{2}$ также подразумевает, что $arcctg(...) < \pi$, что выполняется для любого конечного аргумента.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

в) Решим неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \le \frac{\pi}{2}$.

Аналогично пункту б), воспользуемся свойством монотонного убывания функции $y=arcctg(t)$. Применяя к обеим частям неравенства операцию, соответствующую убывающей функции (в данном случае, взятие котангенса), мы должны изменить знак неравенства на противоположный.

Исходное неравенство $arcctg(-x^2+5x-4) \le \frac{\pi}{2}$ равносильно следующему:

$-x^2+5x-4 \ge ctg(\frac{\pi}{2})$

$-x^2+5x-4 \ge 0$

Умножим на -1 и снова изменим знак неравенства:

$x^2-5x+4 \le 0$

Корни трехчлена $x^2-5x+4$ равны 1 и 4. Парабола $y=x^2-5x+4$ с ветвями вверх принимает неположительные (меньше или равные нулю) значения на отрезке между корнями.

Следовательно, решением является отрезок $[1; 4]$.

Также учтем, что область значений функции $arcctg(t)$ есть $(0, \pi)$, поэтому неравенство $arcctg(...) \le \frac{\pi}{2}$ также подразумевает, что $arcctg(...) > 0$, что выполняется для любого конечного аргумента.

Ответ: $x \in [1; 4]$.