Номер 16, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (4) Решите неравенства:

a) $4\text{arcctg}^2 x+\pi^2\ge 5\pi\text{arcctg}x$;

б) $4\text{arcctg}^2 x+\pi^2\ge 5\pi\text{arcctg}x$.

а) $4\operatorname{arcctg}^2 x + \pi^2 \ge 5\pi\operatorname{arcctg}x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$4\operatorname{arcctg}^2 x - 5\pi\operatorname{arcctg}x + \pi^2 \ge 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $\operatorname{arcctg}x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arcctg}x$.

При этом необходимо учесть область значений функции арккотангенс: $t \in (0, \pi)$.

После замены получаем квадратное неравенство: $4t^2 - 5\pi t + \pi^2 \ge 0$.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 5\pi t + \pi^2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-5\pi)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \pi^2 = 25\pi^2 - 16\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5\pi) - \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi - 3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$

$t_2 = \frac{-(-5\pi) + \sqrt{9\pi^2}}{2 \cdot 4} = \frac{5\pi + 3\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} = \pi$

Парабола $y = 4t^2 - 5\pi t + \pi^2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому неравенство $4t^2 - 5\pi t + \pi^2 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

Таким образом, получаем совокупность неравенств: $t \le \frac{\pi}{4}$ или $t \ge \pi$.

Теперь выполним обратную замену $t = \operatorname{arcctg}x$ и учтем область значений $0 < \operatorname{arcctg}x < \pi$.

1. $\operatorname{arcctg}x \le \frac{\pi}{4}$. Совмещая с областью значений, получаем систему: $0 < \operatorname{arcctg}x \le \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = \operatorname{ctg}(u)$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$. Применим ее ко всем частям двойного неравенства, изменив знаки неравенств на противоположные:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) \le \operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}x) < \lim_{u \to 0^+} \operatorname{ctg}(u)$

Поскольку $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}x) = x$ и $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, а предел котангенса при стремлении аргумента к нулю справа равен $+\infty$, получаем:

$1 \le x < +\infty$

2. $\operatorname{arcctg}x \ge \pi$. Данное неравенство не имеет решений, так как область значений функции арккотангенс $(0, \pi)$ не включает значений, равных или больших $\pi$.

Объединяя полученные результаты, приходим к окончательному решению.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) $4\operatorname{arctg}^2 x + \pi^2 \ge 5\pi\operatorname{arctg}x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4\operatorname{arctg}^2 x - 5\pi\operatorname{arctg}x + \pi^2 \ge 0$

Это квадратное неравенство относительно $\operatorname{arctg}x$. Сделаем замену переменной. Пусть $u = \operatorname{arctg}x$.

Область значений функции арктангенс: $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Получаем квадратное неравенство: $4u^2 - 5\pi u + \pi^2 \ge 0$.

Это то же самое квадратное выражение, что и в пункте а). Его корни равны $u_1 = \frac{\pi}{4}$ и $u_2 = \pi$.

Решением неравенства $4u^2 - 5\pi u + \pi^2 \ge 0$ является совокупность $u \le \frac{\pi}{4}$ или $u \ge \pi$.

Выполним обратную замену $u = \operatorname{arctg}x$ и учтем область значений $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}x < \frac{\pi}{2}$.

1. $\operatorname{arctg}x \le \frac{\pi}{4}$. Совмещая с областью значений, получаем двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}x \le \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = \operatorname{tg}(v)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Применим ее ко всем частям неравенства, сохраняя знаки неравенств:

$\lim_{v \to -\frac{\pi}{2}^+} \operatorname{tg}(v) < \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) \le \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$

Поскольку $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x) = x$ и $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, а предел тангенса при стремлении аргумента к $-\frac{\pi}{2}$ справа равен $-\infty$, получаем:

$-\infty < x \le 1$

2. $\operatorname{arctg}x \ge \pi$. Это неравенство не имеет решений, так как $\pi \approx 3.14$, а верхняя граница области значений арктангенса $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Значение $\operatorname{arctg}x$ не может быть больше $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, решением является только результат из первого случая.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.