Номер 1, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите уравнение (1-5):

1. (1) а) $\sin x = -1$;

б) $\sin 2x = -1$;

в) $\sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-1$;

г) $\sin \left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=-1$.

а)

Дано уравнение $ \sin x = -1 $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для уравнения $ \sin t = -1 $ имеет вид $ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (n — любое целое число).

В данном случае $ t = x $, поэтому решение уравнения:

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \sin 2x = -1 $.

Используем общую формулу для решения уравнения $ \sin t = -1 $, которая гласит $ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае аргумент синуса $ t = 2x $. Подставляем его в формулу:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$ x = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}{2} $

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в)

Дано уравнение $ \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = -1 $.

Аргумент синуса равен $ 2x - \frac{\pi}{3} $. Применяем общую формулу для $ \sin t = -1 $:

$ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Сначала выразим $2x$. Для этого перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть уравнения, изменив знак:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$ 2x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi n $

$ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $.

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение $ \sin(\frac{\pi}{4} - 3x) = -1 $.

Аргумент синуса равен $ \frac{\pi}{4} - 3x $. Применяем общую формулу для $ \sin t = -1 $:

$ \frac{\pi}{4} - 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Выразим $ -3x $. Для этого перенесем $ \frac{\pi}{4} $ в правую часть уравнения:

$ -3x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 4:

$ -3x = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ -3x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.

Разделим обе части уравнения на -3, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n}{-3} $

$ x = \frac{-\frac{3\pi}{4}}{-3} + \frac{2\pi n}{-3} $

$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi n}{3} $.

Так как $n$ является любым целым числом ($...-2, -1, 0, 1, 2...$), то множество решений не изменится, если мы заменим $ -n $ на $ k $, где $k$ тоже любое целое число. Это позволяет записать ответ в более привычной форме с положительным периодом. Заменим $-n$ на $n$ (так как оба пробегают все целые числа):

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.