Номер 7, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) Решите уравнение, используя замену переменной $ \sin x = p $:

a) $ 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 $;

б) $ 3\sin^2 x + 11\sin x - 4 = 0 $;

в) $ 2\sin^2 x - \sin x = 0 $.

а) Исходное уравнение: $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$.
Сделаем замену переменной $p = \sin x$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, то $|p| \le 1$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $p$:
$2p^2 - 5p + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену.
1. $p_1 = 2$. Уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений, так как $2 > 1$.
2. $p_2 = \frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решения, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$.
Общее решение для этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3\sin^2 x + 11\sin x - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной $p = \sin x$, где $|p| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $3p^2 + 11p - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$.
Выполним обратную замену.
1. $p_1 = \frac{1}{3}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{3}$ имеет решения, так как $|\frac{1}{3}| \le 1$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $p_2 = -4$. Уравнение $\sin x = -4$ не имеет решений, так как $-4 < -1$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2\sin^2 x - \sin x = 0$.
Сделаем замену переменной $p = \sin x$, где $|p| \le 1$.
Получаем неполное квадратное уравнение: $2p^2 - p = 0$.
Решим его, вынеся общий множитель за скобки:
$p(2p - 1) = 0$.
Это равенство выполняется, если:
1. $p_1 = 0$.
2. $2p - 1 = 0 \Rightarrow 2p = 1 \Rightarrow p_2 = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|p| \le 1$. Выполним обратную замену для каждого корня.
1. $\sin x = 0$. Это частный случай, решениями которого являются $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = \frac{1}{2}$. Решениями являются $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Общее решение исходного уравнения является объединением этих двух множеств решений.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.