Номер 9, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (1)

a) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

б) $2\sin(-3x) = 1$;

В) $2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$;

Г) $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$. Его общее решение записывается по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел). В данном случае $a = -\frac{1}{2}$. Находим арксинус: $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$. Подставляем это значение в общую формулу решения:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$
Используя свойство степеней $-1 \cdot (-1)^n = (-1)^{n+1}$, мы можем упростить выражение:
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $2\sin(-3x) = 1$. Сначала преобразуем его. Разделим обе части на 2:
$\sin(-3x) = \frac{1}{2}$.
Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:
$-\sin(3x) = \frac{1}{2}$.
Умножим обе части на -1:
$\sin(3x) = -\frac{1}{2}$.
Пусть $t = 3x$, тогда уравнение принимает вид $\sin(t) = -\frac{1}{2}$. Решение этого уравнения (как в пункте а)) есть $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $3x$ вместо $t$:
$3x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$. Выразим синус:
$2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$
$\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
Пусть $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}$. Уравнение сводится к $\sin(t) = -\frac{1}{2}$.
Решение для $t$ известно: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Произведем обратную замену:
$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выразим $x$. Сначала вычтем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей:
$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Теперь умножим обе части на 3:
$x = 3 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 3\pi n$.
Упрощаем дроби:
$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$. Для удобства преобразуем аргумент синуса, используя его нечетность $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin\left(-\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{2}$
$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
Умножив на -1, получаем:
$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$, тогда $\sin(t) = \frac{1}{2}$.
Общее решение для такого уравнения: $t = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную подстановку:
$2x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Теперь выразим $x$. Прибавим $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям:
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим все на 2:
$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.