Номер 9, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (1)

a) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

б) $2\sin(-3x) = 1$;

В) $2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$;

Г) $\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида `$\sin x = a$`. Его общее решение записывается по формуле `$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$`, где `$n \in \mathbb{Z}$` (множество целых чисел). В данном случае `$a = -\frac{1}{2}$`. Находим арксинус: `$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$`. Подставляем это значение в общую формулу решения:
`$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$`
Используя свойство степеней `$-1 \cdot (-1)^n = (-1)^{n+1}$`, мы можем упростить выражение:
`$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.

б) Дано уравнение `$2\sin(-3x) = 1$`. Сначала преобразуем его. Разделим обе части на 2:
`$\sin(-3x) = \frac{1}{2}$`.
Воспользуемся свойством нечетности синуса `$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$`:
`$-\sin(3x) = \frac{1}{2}$`.
Умножим обе части на -1:
`$\sin(3x) = -\frac{1}{2}$`.
Пусть `$t = 3x$`, тогда уравнение принимает вид `$\sin(t) = -\frac{1}{2}$`. Решение этого уравнения (как в пункте а)) есть `$t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Теперь вернемся к переменной `$x$`, подставив `$3x$` вместо `$t$`:
`$3x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Чтобы найти `$x$`, разделим обе части уравнения на 3:
`$x = \frac{(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$`.

в) Дано уравнение `$2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$`. Выразим синус:
`$2\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$`
`$\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$`.
Пусть `$t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}$`. Уравнение сводится к `$\sin(t) = -\frac{1}{2}$`.
Решение для `$t$` известно: `$t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Произведем обратную замену:
`$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Выразим `$x$`. Сначала вычтем `$\frac{\pi}{6}$` из обеих частей:
`$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Теперь умножим обе части на 3:
`$x = 3 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 3\pi n$`.
Упрощаем дроби:
`$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$`.

г) Дано уравнение `$\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$`. Для удобства преобразуем аргумент синуса, используя его нечетность `$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$`:
`$\sin\left(-\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{2}$`
`$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$`.
Умножив на -1, получаем:
`$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$`.
Пусть `$t = 2x - \frac{\pi}{6}$`, тогда `$\sin(t) = \frac{1}{2}$`.
Общее решение для такого уравнения: `$t = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$`.
Выполним обратную подстановку:
`$2x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Теперь выразим `$x$`. Прибавим `$\frac{\pi}{6}$` к обеим частям:
`$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$`.
Разделим все на 2:
`$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$`.
Ответ: `$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$`.