Номер 6, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1=0$;

б) $\cos \left(\frac{3\pi}{2}+2\pi x\right)=1$;

в) $7 \sin (\pi-3x)-2=0$;

г) $14 \cos \left(x+\frac{7\pi}{2}\right)=-\sqrt{98}$.

а) Исходное уравнение: $2\cos(\frac{\pi}{2} - x) + 1 = 0$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.
Уравнение принимает вид: $2\sin(x) + 1 = 0$.
Выразим $\sin(x)$:
$2\sin(x) = -1$
$\sin(x) = -\frac{1}{2}$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi x) = 1$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2\pi x$.
Уравнение принимает вид: $\sin(2\pi x) = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:
$2\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi} + \frac{2\pi n}{2\pi}$
$x = \frac{1}{4} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{4} + n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $7\sin(\pi - 3x) - 2 = 0$.
Применим формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 3x$.
Уравнение принимает вид: $7\sin(3x) - 2 = 0$.
Выразим $\sin(3x)$:
$7\sin(3x) = 2$
$\sin(3x) = \frac{2}{7}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$3x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{7}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $14\cos(x + \frac{7\pi}{2}) = -\sqrt{98}$.
Упростим аргумент косинуса, используя периодичность функции $\cos$. Период равен $2\pi$.
$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
$\cos(x + \frac{7\pi}{2}) = \cos(x + 2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(x + \frac{3\pi}{2})$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.
Уравнение принимает вид: $14\sin(x) = -\sqrt{98}$.
Упростим правую часть: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
$14\sin(x) = -7\sqrt{2}$.
Выразим $\sin(x)$:
$\sin(x) = \frac{-7\sqrt{2}}{14}$
$\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.