Номер 11, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (1) a) $2\sin x - \sqrt{2} = 0$;

б) $-\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{3} - \pi x\right) + 1 = 0$;

в) $2\sin\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$;

г) $2\sin\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}$.

а) $2\sin x-\sqrt{2}=0$
Первым шагом преобразуем уравнение, чтобы выразить $\sin x$. Для этого перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть и разделим обе части на 2.
$2\sin x=\sqrt{2}$
$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$ дается формулой $x=(-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение.
Ответ: $x=(-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{3}-\pi x)+1=0$
Выразим тригонометрическую функцию из уравнения.
$-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{3}-\pi x) = -1$
$\sin(\frac{\pi}{3}-\pi x) = \frac{-1}{-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Чтобы упростить дальнейшие вычисления, воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-A) = -\sin(A)$ и сделаем коэффициент при $x$ положительным. Аргумент $(\frac{\pi}{3}-\pi x)$ можно записать как $-(\pi x - \frac{\pi}{3})$.
$\sin(-(\pi x - \frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\sin(\pi x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\pi x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Теперь применим общую формулу решения. Аргумент синуса равен:
$\pi x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то:
$\pi x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$
$\pi x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть и разделив всё на $\pi$.
$\pi x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{1}{3} + (-1)^{n+1} \frac{1}{4} + n$
Ответ: $x = \frac{1}{3} + (-1)^{n+1} \frac{1}{4} + n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin(\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}$
Выразим синус из уравнения, разделив обе части на 2.
$\sin(\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим общую формулу для решения уравнения $\sin(y)=a$, которая гласит $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $y = \frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4}$.
$\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
$\frac{2x}{7}+\frac{\pi}{4} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь выразим переменную $x$.
$\frac{2x}{7} = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{7}{2} \left( -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = -\frac{7\pi}{8} + (-1)^{n+1} \frac{7\pi}{8} + \frac{7\pi n}{2}$
Ответ: $x = -\frac{7\pi}{8} + (-1)^{n+1} \frac{7\pi}{8} + \frac{7\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2\sin(5x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{2}$
Выделим синус, разделив уравнение на 2.
$\sin(5x+\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим общую формулу решения $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$5x+\frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
$5x+\frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$ из этого уравнения.
$5x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{1}{5} \left( -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = -\frac{\pi}{30} + (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{30} + (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.