Номер 10, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (1)

а) $2\sin x = \sqrt{3};$

б) $2\sin\left(\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{3};$

в) $2\sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0;$

г) $2\sin\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = -\sqrt{3}.$

а)

Исходное уравнение: $2\sin x = \sqrt{3}$.

Для того чтобы найти $x$, сначала выразим $\sin x$. Для этого разделим обе части уравнения на 2:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения вида $\sin x = a$ следующая: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в общую формулу решения:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения введем замену. Пусть $t = \frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для такого уравнения: $t = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, находим: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Тогда решение для $t$ можно записать как $t = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Теперь сделаем обратную замену:

$\frac{2\pi x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$\frac{2\pi x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2\pi}$:

$x = \frac{3}{2\pi} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{2\pi \cdot 3} - \frac{3\pi}{2\pi \cdot 4} + \frac{3\pi n}{2\pi}$.

$x = (-1)^{n+1} \frac{1}{2} - \frac{3}{8} + \frac{3n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3n}{2} - \frac{3}{8} + \frac{(-1)^{n+1}}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\sin(2x - \frac{\pi}{5}) + \sqrt{3} = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить синус. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 2:

$2\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = -\sqrt{3}$.

$\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это уравнение аналогично предыдущему. Сделаем замену $t = 2x - \frac{\pi}{5}$. Получим $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Как мы уже выяснили в пункте б), решение для $t$ имеет вид: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполняем обратную замену:

$2x - \frac{\pi}{5} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:

$2x = \frac{\pi}{5} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{5} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{\pi}{5} - 2x) = -\sqrt{3}$.

Разделим обе части на 2:

$\sin(\frac{\pi}{5} - 2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Аргумент синуса можно переписать как $\frac{\pi}{5} - 2x = -(2x - \frac{\pi}{5})$.

Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{5} - 2x) = -\sin(2x - \frac{\pi}{5})$.

Подставим это в наше уравнение:

$-\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Умножим обе части на -1, чтобы упростить уравнение:

$\sin(2x - \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену $t = 2x - \frac{\pi}{5}$. Уравнение примет вид $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для $t$ будет: $t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену:

$2x - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Выразим $x$:

$2x = \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.