Номер 3, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1)

a) $2\sin\pi x = -\sqrt{3};$

б) $2\sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3};$

в) $2\sin\left(3x - \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3};$

г) $2\sin\left(\frac{\pi}{6} - 4x\right) = -\sqrt{3}.$

а)

Дано уравнение: $2\sin(\pi x) = -\sqrt{3}$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить синус:
$\sin(\pi x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае, аргумент $t = \pi x$, а значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем значения в общую формулу:
$\pi x = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n$
$\pi x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части последнего равенства на $\pi$:
$x = \frac{1}{\pi} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$
$x = (-1)^{n+1} \frac{1}{3} + n$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{1}{3} + n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $2\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\sin(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $\sin(t) = a$: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Аргумент $t = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$, значение $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в формулу:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$\frac{3x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:
$x = \frac{2}{3} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$
$x = (-1)^n \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$
$x = (-1)^n \frac{2\pi}{9} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{2\pi}{9} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение: $2\sin(3x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\sin(3x - \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Применим общую формулу решения: $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 3x - \frac{\pi}{5}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$3x - \frac{\pi}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:
$3x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n$.
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{1}{3} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n \right)$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение: $2\sin(\frac{\pi}{6} - 4x) = -\sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\sin(\frac{\pi}{6} - 4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-y) = -\sin(y)$.
$\sin(\frac{\pi}{6} - 4x) = \sin(-(4x - \frac{\pi}{6})) = -\sin(4x - \frac{\pi}{6})$.
Уравнение примет вид:
$-\sin(4x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(4x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь решаем это уравнение, используя общую формулу $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$4x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть:
$4x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{1}{4} \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.