Номер 3, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Отметьте на оси $Oy$ число $\sqrt{2}$. Существует ли такой угол на тригонометрической окружности, что его синус равен $\sqrt{2}$?

Начнем с уравнения $\sin x = 0$.

Отметьте на оси Oy число √2.

Для того чтобы отметить число $ \sqrt{2} $ на оси $ Oy $, необходимо определить его положение относительно ключевых точек, в частности, относительно 1 и -1, которые являются максимальным и минимальным значениями для синуса на тригонометрической окружности.
Приблизительное значение корня из двух составляет $ \sqrt{2} \approx 1.414 $.
Тригонометрическая окружность имеет радиус, равный 1. Это означает, что на оси $ Oy $ (оси синусов) точки, относящиеся к окружности, лежат в пределах отрезка $ [-1; 1] $.
Поскольку $ \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 $, точка, соответствующая числу $ \sqrt{2} $, будет расположена на оси $ Oy $ выше верхней точки тригонометрической окружности (точки с координатой $ y=1 $).

Ответ: Число $ \sqrt{2} $ находится на положительной части оси $ Oy $ на расстоянии примерно 1.414 единиц от начала координат, то есть выше точки $ (0, 1) $, которая является верхней точкой тригонометрической окружности.

Существует ли такой угол на тригонометрической окружности, что его синус равен √2?

По определению, синус угла $ \alpha $ на тригонометрической окружности — это ордината (координата по оси $ y $) точки пересечения конечной стороны угла с этой окружностью.
Тригонометрическая окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R=1 $. Все точки $ (x, y) $, лежащие на этой окружности, удовлетворяют уравнению $ x^2 + y^2 = 1 $.
Из этого следует, что любая координата любой точки на окружности не может по модулю превышать 1. В частности, для ординаты $ y $, которая и представляет собой синус угла, справедливо двойное неравенство: $ -1 \le y \le 1 $.
Таким образом, область значений функции синуса — это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного угла $ \alpha $ выполняется условие $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $.
Рассмотрим требуемое значение синуса, равное $ \sqrt{2} $. Мы уже установили, что $ \sqrt{2} \approx 1.414 $.
Сравнивая это значение с областью значений синуса, мы видим, что $ \sqrt{2} > 1 $.
Так как значение $ \sqrt{2} $ не входит в отрезок $ [-1; 1] $, не существует такого угла, синус которого был бы равен $ \sqrt{2} $. Горизонтальная прямая $ y=\sqrt{2} $ не пересекает тригонометрическую окружность.

Ответ: Нет, такого угла не существует, поскольку значение $ \sqrt{2} $ выходит за пределы области значений функции синус, которая представляет собой отрезок $ [-1; 1] $.