Номер 4, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (1)

a) $2\sin x + \sqrt{2} = 0$;

б) $\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$;

B) $2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0$;

г) $2\sin\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{2}$.

а)

Исходное уравнение: $2\sin x + \sqrt{2} = 0$.

Сначала изолируем $\sin x$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения:

$2\sin x = -\sqrt{2}$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение тригонометрического уравнения $\sin x = a$ находится по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса от этого числа равно $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$

Упрощая, получаем окончательный ответ:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$.

Выразим функцию синуса. Перенесем $-1$ в правую часть и разделим на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение принимает вид $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь сделаем обратную замену $t = x - \frac{\pi}{3}$:

$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\sin(2x - \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$.

Сначала выразим синус. Перенесем $-\sqrt{2}$ в правую часть и разделим на 2:

$2\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{4}$. Уравнение становится $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$: $t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставляем значение арксинуса $\frac{\pi}{4}$:

$t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Производим обратную замену:

$2x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $2\sin(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = \frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$ имеет вид $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проведем обратную замену и вынесем общий множитель в аргументе синуса:

$\frac{\pi}{3}(x + 1) = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{1}{3}(x + 1) = (-1)^{n+1} \frac{1}{4} + n$

Теперь умножим обе части на 3:

$x + 1 = (-1)^{n+1} \frac{3}{4} + 3n$

Выразим $x$, перенеся 1 в правую часть:

$x = -1 + (-1)^{n+1} \frac{3}{4} + 3n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -1 + (-1)^{n+1} \frac{3}{4} + 3n$, $n \in \mathbb{Z}$.