Номер 5, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (1)

a) $2\sin\frac{2x}{3} - 2\sqrt{2} = 0;$

B) $\sin 5x - \sqrt{5} = 2;$

6) $\sin 3x = \sqrt{5}-2;$

Г) $8\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -3\pi.$

а) Исходное уравнение: $2\sin\frac{2x}{3}-2\sqrt{2}=0$.
Перенесем слагаемое, не содержащее переменную, в правую часть уравнения:
$2\sin\frac{2x}{3} = 2\sqrt{2}$
Разделим обе части уравнения на 2:
$\sin\frac{2x}{3} = \sqrt{2}$
Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Следовательно, $\sin\frac{2x}{3}$ не может быть равен $\sqrt{2}$.
Ответ: решений нет.

б) Исходное уравнение: $\sin 3x = \sqrt{5}-2$.
Оценим значение правой части уравнения. Мы знаем, что $4 < 5 < 9$, следовательно $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$.
Вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем: $2-2 < \sqrt{5}-2 < 3-2$, то есть $0 < \sqrt{5}-2 < 1$.
Поскольку значение $\sqrt{5}-2$ принадлежит области значений функции синуса (интервалу $[-1, 1]$), уравнение имеет решения.
Общее решение для уравнения $\sin y = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.
В данном случае $y = 3x$ и $a = \sqrt{5}-2$.
$3x = (-1)^n \arcsin(\sqrt{5}-2) + \pi n, n \in Z$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:
$x = \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\sqrt{5}-2) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{(-1)^n}{3} \arcsin(\sqrt{5}-2) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

в) Исходное уравнение: $\sin 5x - \sqrt{5} = 2$.
Выразим $\sin 5x$:
$\sin 5x = 2 + \sqrt{5}$.
Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$.
Значение $4.236$ не входит в область значений синуса, так как $4.236 > 1$.
Ответ: решений нет.

г) Исходное уравнение: $8\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -3\pi$.
Выразим синус из уравнения, разделив обе части на 8:
$\sin\left(x+\frac{\pi}{13}\right) = -\frac{3\pi}{8}$.
Оценим значение правой части. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
$-\frac{3\pi}{8} \approx -\frac{3 \cdot 3.14159}{8} = -\frac{9.42477}{8} \approx -1.178$.
Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $-1.178 < -1$, значение $-\frac{3\pi}{8}$ не входит в область значений синуса.
Ответ: решений нет.